Question

【題目】已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6，點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．

（1）如圖1，猜想：△CDE的形狀是　 　三角形．

（2）請(qǐng)證明（1）中的猜想

（3）設(shè)OD=m，

①當(dāng)6＜m＜10時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2）詳見解析；（3）①2+4；②當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到結(jié)論；

（3）①當(dāng)6＜m＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論；

②存在，分四種情況討論：a）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形；

b）當(dāng)0≤m＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）當(dāng)6＜m＜10時(shí)，此時(shí)不存在；

d）當(dāng)m＞10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

（1）等邊；

（2）∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等邊三角形．

（3）①存在，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等邊三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD=2，∴△BDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2+4；

②存在，分四種情況討論：

a）∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；

b）當(dāng)0≤m＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．

∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．

∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；

c）當(dāng)6＜m＜10時(shí)，由∠DBE=120°＞90°，∴此時(shí)不存在；

d）當(dāng)m＞10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，從而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．

綜上所述：當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．