Question

如圖，直線y=kx與雙曲線y=

12

x

交于A、B兩點，且點A 的坐標為（6，m）．
（1）求直線y=kx的解析式．
（2）在雙曲線上任意找一個異于A、B的點C，并連接OC和AC，再作△OAC關于原點O的位似三角形OA₁C₁，使△OA₁C₁與△OAC的相似比為2：1，試說明過點A₁的雙曲線也必過點C₁．
（3）將（2）中的△OA₁C₁與△OAC的相似比變成n：1，直接寫出過點A₁的雙曲線的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的關系，可得A點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得正比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩三角形的位似比等于對應邊的比，可得A₁點坐標，C₁點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得雙曲線的解析式，根據(jù)把點的坐標代入函數(shù)解解析式，可得答案；
（3）根據(jù)位似三角形的位似比，可得A₁點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

解答：解：（1）由雙曲線y=

12

x

過點A（6，m），得
m=

12

6

=2，即A（6，2），
把A點坐標（6，2）代入y=kx，得
6k=2，解得k=

1

3

，
直線y=kx的解析式為y=

1

3

x；
（2）如圖：
，
設C（c，

12

c

），A₁（a，

1

3

a），由△OA₁C₁與△OAC的相似比為2：1，即

OA1

OA

=

OC1

OC

=

2

1

，
即

a2+( 1 3 a)2

62+22

=

4

1

，解得a=-12，

1

3

a=-4，
A₁（-12，-4），由此可得A₁點的坐標是A點坐標的-2倍，
C₁點的坐標是C點坐標的-6倍，即C₁（-2c，-

24

c

），
設過A₁點的雙曲線是y=

k

x

，把A₁點的坐標代入，得k=-12×（-4）=48，
即過A₁點的雙曲線是y=

48

x

，
把C₁點坐標代入y=

48

x

，得
-

24

c

=

48

-2c

，即點A₁的雙曲線也必過點C₁；
（3）△OA₁C₁與△OAC的相似比變成n：1，
得

OA1

OA

=

n

1

，
A₁（-6n，-2n）
過A₁點的雙曲線為y=

k

x

，把（-6n，-2n）代入得
k=（-6n）•（-2n）=12n²，
即過點A₁的雙曲線的解析式y(tǒng)=

12n2

x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了自變量與函數(shù)值的對應關系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用三角形的位似比等與對應邊的比得出對應點的坐標是解題關鍵．