Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上的一點(diǎn)，MN⊥AB，垂足為N，P，Q分別為

AM

、

BM

上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）如果∠MNP=∠MNQ，給出下列結(jié)論：
①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④MN²=PN•QN；⑤PM=QM
其中結(jié)論正確的序號(hào)是（　�。�

• A、①②③
• B、①③④
• C、①③⑤
• D、④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：利用等角的余角相等得到①對(duì)．利用三角形內(nèi)角和定理得②錯(cuò)，利用垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等得③對(duì)；利用三角形相似得④對(duì)，⑤錯(cuò)．

解答：解：延長(zhǎng)QN交圓O于C，延長(zhǎng)MN交圓O于D，
如圖∵M(jìn)N⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
則∠1=∠2，故①正確；
∵AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，

AM

=

DA

，
∵∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
∴P，C關(guān)于A(yíng)B對(duì)稱(chēng)，
則

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，
∴∠Q=∠PMN，故③正確；
∵∠P+∠PMN＜180°，∠Q=∠PMN，
∴∠P+∠Q＜180°，
故②錯(cuò)誤；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④正確，⑤錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題為圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線(xiàn)的作法．