Question

如圖， AE是⊙O直徑，D是⊙O上一點，連結AD并延長使AD=DC，連結CE交⊙O于點B，連結AB.過點E的直線與AC的延長線交于點F，且∠F=∠CED.

（1）求證:EF是⊙O切線；

（2）若CD=CF=2，求BE的長.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AE是⊙O直徑得到∠ADE=90°，而AD=DC，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到EA=EC，則∠AED=∠CED，由于∠F=∠CED，所以∠AED=∠F，易得∠F+∠EAD=90°，即∠AEF=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到EF是⊙O切線；

（2）根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF，利用相似比可計算出AE=，則CE=AE=，在Rt△ADE中，利用勾股定理計算出DE=，再由AE是⊙O直徑得到∠ABE=90°，則根據(jù)面積法得到CE•AB=

DE•AC，則可計算出AB=，，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理計算BE．

試題解析：（1）證明：∵AE是⊙O直徑，∴∠ADE=90°.∴ED⊥AC.

∵AD=DC，∴EA=EC．∴∠AED=∠CED，

∵∠F=∠CED，∴∠AED=∠F.

而∠AED+∠EAD=90°，∴∠F+∠EAD=90°.∴∠AEF=90°.∴AE⊥EF.

∴EF是⊙O切線.

（2）∵CD=CF=2，∴AD=CD=CF=2.

∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF.

∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE．∴AE=.∴CE=AE=.

在Rt△ADE中，.

∵AE是⊙O直徑，∴∠ABE=90°.

∴CE•AB=DE•AC，∴AB=.

在Rt△ABE中，．

考點：1.切線的判定和性質(zhì)；2.相似三角形的判定和性質(zhì)；3．圓周角定理；4勾股定理；5.等腰三角形的性質(zhì)．