Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸正半軸上，OB在y軸負(fù)半軸上，且OA=，OB=1，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求出該拋物線的解析式．

（2）第二象限內(nèi)的點(diǎn)M，是經(jīng)過原點(diǎn)且平分Rt△AOB面積的直線上一點(diǎn)．若OM=2，請(qǐng)判斷點(diǎn)M是否在（1）中的拋物線上？并說明理由．

（3）點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)B且與坐標(biāo)軸不平行的直線l上一點(diǎn)．請(qǐng)你探究：當(dāng)直線l繞點(diǎn)B任意旋轉(zhuǎn)（不與坐標(biāo)軸平行或重合）時(shí)，是否存在這樣的直線l，在直線l上能找到點(diǎn)P，使△PAB與Rt△AOB相似（相似比不為1）？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）點(diǎn)M不在拋物線y=x2﹣1上（3）存在三條直線l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直線l上能找到點(diǎn)P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似

【解析】

（1）依題意得到A與B的坐標(biāo)，根據(jù)B為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)出拋物線的解析式，將A坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）點(diǎn)M不在拋物線上，理由為：設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線OM交AB于點(diǎn)D，由題意得到D為AB的中點(diǎn)，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN與ON的長(zhǎng)，確定出M坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)即可得到結(jié)果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三種情況考慮：①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，若∠AP1B=60°，則△ABP1∽△AOB，由相似得比例，確定出P1的坐標(biāo)，再由B坐標(biāo)確定出直線l解析式即可；②當(dāng)∠ABP=60°時(shí)，若∠BAP5=90°，則△ABP5∽△OBA，由相似得比例求出P5坐標(biāo)，同理確定出直線l解析式；③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí)，若∠P6AB=90°，則△ABP6∽△OAB，由相似得比例求出P6坐標(biāo)，同理確定出直線l解析式，綜上，得到直線l上能找到點(diǎn)P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似時(shí)的所有解析式．

（1）依題意得：A（，0），B（0，﹣1），

∵B為拋物線的頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2﹣1，

將A坐標(biāo)代入得：3a﹣1=0，即a=，

則拋物線解析式為y=x2﹣1；

（2）點(diǎn)M不在拋物線y=x2﹣1上，理由為：

設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線OM交AB于點(diǎn)D，作MN⊥OC于點(diǎn)N，

由題意得：D為AB的中點(diǎn)，即OD=AD=BD，

∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，

在Rt△OMN中，OM=2，

∴MN=1，ON=，即M（﹣，1），

∵y=×（﹣）2﹣1=0≠1，

∴點(diǎn)M不在拋物線y=x2﹣1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，

分三種情況考慮：

①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，若∠AP1B=60°，則△ABP1∽△AOB，

∴=，即BP1==，

∴OP1=，即P1（﹣，0），[這里也利用求出P2（﹣，2）或P3（，﹣2）或P4（，﹣4）]，

設(shè)直線l解析式為y=kx+b，將B與P1坐標(biāo)代入得：，

解得：，

此時(shí)直線l解析式為y=﹣x﹣1；

②當(dāng)∠ABP=60°時(shí)，若∠BAP5=90°，則△ABP5∽△OBA，

∴=，即BP5==4，

過P5作P5C⊥y軸于點(diǎn)G，在Rt△BGP5中，∠P5BG=60°，

∴P5G=2，BG=2，即P5（2，﹣3），

同理求出直線l解析式為y=﹣x﹣1；

③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí)，若∠P6AB=90°，則△ABP6∽△OAB，

∴=，即BP6==，

過P6作P6H⊥y軸于點(diǎn)H，在Rt△BP6H中，∠P6BH=30°，

∴P6H=，BH=2，

∴P6（，1），

同理得到直線l解析式為y=x﹣1，

綜上，存在三條直線l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直線l上能找到點(diǎn)P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似．