Question

求所有使a⁴+4^b等于質(zhì)數(shù)的正奇數(shù)對（a，b）．

Answer 1

考點：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：由于b是正奇數(shù)，可設(shè)b=2c+1，則a⁴+4^b=a⁴+4^2c+1=a⁴+4•（2^c）⁴=[a²+2•（2^c）²+2a•2^c][a²+2•（2^c）²-2a•2^c]是質(zhì)數(shù)，依此可得（a-1）（a+1）=2^c+1•（a-2^c），由于a是正奇數(shù)，可設(shè)a=2d+1，則（a-1）（a+1）=（2d+1-1）（2d+1+1）=4d（d+1）=2^c+1•（2d+1-2^c），得到d（d+1）=2^c-1•（2d+1-2^c），再分（1）如果c=0，則b=1，d（d+1）=

1

2

•（2d+1-1）；（2）如果c≥1，則d=2^c-1•m或d=2^c-1•m-1（m|a-2^c）；兩種情況討論即可求解．

解答：解：∵b是正奇數(shù)，
∴設(shè)b=2c+1，
則a⁴+4^b=a⁴+4^2c+1=a⁴+4•（2^c）⁴=[a²+2•（2^c）²+2a•2^c][a²+2•（2^c）²-2a•2^c]是質(zhì)數(shù)，
∴a²+2•（2^c）²-2a•2^c=1，
∴a²-1=2a•2^c-2•（2^c）²=2^c+1•a-2^c+1•2^c，
∴（a-1）（a+1）=2^c+1•（a-2^c），
∵a是正奇數(shù)，
∴設(shè)a=2d+1，
∴（a-1）（a+1）=（2d+1-1）（2d+1+1）=4d（d+1）=2^c+1•（2d+1-2^c），
∴d（d+1）=2^c-1•（2d+1-2^c），
（1）如果c=0，則b=1，d（d+1）=

1

2

•（2d+1-1），
∴d²=0，
∴d=0，
∴a=1，
∴（a，b）=（1，1）．
（2）如果c≥1，則d=2^c-1•m或d=2^c-1•m-1（m|a-2^c），
①d=2^c-1•m時，m（2^c-1•m+1）=2^c•m+1-2^c，2^c-1•m²=（2^c-1）（m-1），
∴

2c-1=m-1 m2=2c-1

，
即m²=2m-3，無解；
②d=2^c-1•m-1時，m（2^c-1•m-1）=2^c•m-1-2^c，2^c-1•m²=（2^c+1）（m-1），
∴

2c-1=m-1 m2=2c+1

，
即m²=2m-1，無解．
故正奇數(shù)對（a，b）為（1，1）．

點評：此題主要考查偶數(shù)與奇數(shù)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念及意義，以及分類思想的應(yīng)用．