Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）判斷△ABC的形狀；

（2）過點(diǎn)C的直線y交x軸于點(diǎn)H，若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線CH于點(diǎn)Q，作PN∥x軸交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，以PQ、PN為鄰邊作矩形PQMN，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)K，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)T，一動(dòng)點(diǎn)G從線段CP的中點(diǎn)R出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿R→K→T的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T，再沿線段TB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間及此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A'BC'的位置，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、C'，且點(diǎn)C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，連接AC'．點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、C'E，將△AC'E沿直線C'E翻折為△A″C'E，是否存在點(diǎn)A'，使得△BAA″為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是以AC為底的等腰三角形．理由見解析；（2）動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t=6秒，T（，0）；（3）E坐標(biāo)為（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．

【解析】

（1）結(jié)論：△ABC是以AC為底的等腰三角形，求出A，B，C的坐標(biāo)，求出BC，BA即可判斷．
（2）根據(jù)周長(zhǎng)的定義，構(gòu)建二次函數(shù)，求出周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)P（3，-3），因?yàn)?/span>R為線段CP的中點(diǎn)，推出R（，-3），作點(diǎn)R關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)R′（，-3），此時(shí)R與N重合，由題意知：動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t=RK+KT+TB，過點(diǎn)R′作R′J⊥BS于J，交y軸于K，交x軸于T，則R′J即為所求，由TJ=TB，可得t=R′K+KT+TJ，再利用相似三角形的性質(zhì)求出TM即可解決問題．
（3）分四種情形分別畫出圖形求解即可：①當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖2中．②當(dāng)AA'=AB時(shí)，如圖3中，設(shè)A″C′交y軸于J．③當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖4中，設(shè)AC′交y軸于M．④當(dāng)A'B=AB時(shí)，如圖5中．分別求出答案即可.

解：（1）△ABC是以AC為底的等腰三角形．理由如下：

由題意知拋物線y與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

∴令x=0，解得：y；令x=0，解得：x1，x2=4；

∴A（，0），，；

∴AC2=AM2+MC230，

BC2=OB2+OC275，

AB2=（OA+OB）275，

∴AB=BC，

∴△ABC是以AC為底的等腰三角形．

（2）如圖1中，過點(diǎn)C的直線y交x軸于點(diǎn)H，

令y=0，解得：x，

∴

設(shè)P（m，3），則Q（m，3）．

∵y，

∴拋物線對(duì)稱軸為：直線x，

∴QP=（3）﹣（3），NP=m，

∴矩形PQMN的周長(zhǎng)C矩形PQMN=2（QP+NP）=2（）；

∵0，開口向下，

∴當(dāng)m=3時(shí)，C矩形PQMN最小，此時(shí)，P（3，﹣3）．

∵R為線段CP的中點(diǎn)，

∴R（，﹣3），作點(diǎn)R關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)R'（，﹣3），此時(shí)R與N重合，

由題意知：動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t=RK+KTTB，

在y軸正半軸上取點(diǎn)S（0，4），連接直線BS，則直線BS解析式為：yx+4，

過點(diǎn)R'作R'J⊥BS于J，交y軸于K，交x軸于T，則R'J即為所求．

∵tan∠SBO，

∴∠SBO=30°，

∴TJTB

即t=R'K+KT+TJ．

∵RR'=3，∠RR'J=∠BTJ=60°，

∴△KRR'為等邊三角形，∠RKR'=∠KRR'=60°，

∴∠KRM=∠KHR=30°，

∴R'J=2RR'=6；

即動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t=6（秒）；

∵△JMT∽△JRR'，

∴，即，

∴TM=33，

∴T（，0）；

（3）①當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖2中，

此時(shí)，A'在對(duì)稱軸上

對(duì)稱性可知∠AC'E=∠A'C'E，

又∠HEC'=∠A'C'E，

∴∠AC'E=∠HEC'，

∴HE=HC'=5，

∴OE=HE﹣HO，

∴

②當(dāng)AA'=AB時(shí)，如圖3中，設(shè)A″C'交y軸于J．

此時(shí)AA'=AB=BC'=A'C'，

∴四邊形A'ABC'為菱形

由對(duì)稱性可知：∠AC'E=∠A'C'E=30°，

∴JE，

∴OE=OJ﹣JE=6，

∴E（0，6）；

③當(dāng)AA'=A'B時(shí)，如圖4中，設(shè)AC'交y軸于M．

此時(shí)，A'在對(duì)稱軸上∠MC'E=75°

又∠AMO=∠EMC'=30°，

∴∠MEC'=75°，

∴ME=MC'，

∴MC'，

∴OE，

∴E（）；

④當(dāng)A'B=AB時(shí)，如圖5中，

此時(shí)AC'=A'C'=A'B=AB，

∴四邊形AC'A'B為菱形

由對(duì)稱性可知，C'，E，B共線，

∴OE，

∴E（0，12）．

綜上所述可得：點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，3）或（0，6）或（0，3）或（0，12）．