Question

【題目】如圖，直線y＝kx＋4(k≠0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，A，直線y＝－2x＋1與y軸交于點(diǎn)C，與直線y＝kx＋4交于點(diǎn)D，△ACD的面積是 .

(1)求直線AB的表達(dá)式；

(2)設(shè)點(diǎn)E在直線AB上，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)直線AB的表達(dá)式為y＝x＋4；(2)當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－3，1)或(－).

【解析】

(1)將=0分別代入兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo),進(jìn)而即可得出AC的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△ACD的面積即可求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo),利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),由點(diǎn)D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的表達(dá)式;

(2)由直線AB的表達(dá)式即可得出△ACE為等腰直角三角形,分∠ACE=90°和∠AEC=90°兩種情況考慮,根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo),此題得解.

(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx＋4＝4，y＝－2x＋1＝1，

∴A(0，4)，C(0，1)，

∴AC＝3.

∵S△ACD＝ AC·(－xD)＝－ xD＝，

∴xD＝－1.

當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－2x＋1＝3，

∴D(－1，3).

將D(－1，3)代入y＝kx＋4，得－k＋4＝3，

解得k＝1，

∴直線AB的表達(dá)式為y＝x＋4.

(2)∵直線AB的表達(dá)式為y＝x＋4，

∴△ACE為等腰直角三角形.

如圖，當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

∴CE1＝3，E1的橫坐標(biāo)為－3.

將x＝－3代入y＝x＋4中，得y＝1，

∴E1(－3，1)；

當(dāng)∠AE2C＝90°時(shí)，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

過(guò)點(diǎn)E2作E2F⊥AC于點(diǎn)F，E2F＝AF＝FC＝ AC＝，

∴E2(－，).

綜上所述，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－3，1)或(－， ).