Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(0<1≤10)s．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，DE。

（1）用含t的式子填空：BE=________cm ，CD=________cm。

（2）試說(shuō)明，無(wú)論t為何值，四邊形ADEF都是平行四邊形；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（1）t ，10-t；（2）見解析；（3）滿足條件的t的值為5s或s，理由見解析

【解析】

（1） 點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng) ，由路程=時(shí)間×速度，得AD=t, CD=10-t,; 點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),所以BE=t；

（2）因?yàn)?/span> △ABC 是等腰直角三角形，得∠B=45°，結(jié)合BE= t，得EF=t,又因?yàn)?/span>∠EFB和∠C都是直角相等，得 AD∥EF，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形ADFE是平行四邊形；

（3） ①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，因?yàn)?/span>DF平分對(duì)角，四邊形EFCD是正方形，這時(shí) AD=DE=CD=5，求得t=5;②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，由DF∥AE，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠AED=∠EDF=90°，結(jié)合∠A=45°，AD=AE , 據(jù)此列式求得t值即可； ③當(dāng)∠EFD=90°，點(diǎn)D、E、F在一條直線上，△DFE不存在.

（1）由題意可得BE=tcm，CD=AC-AD=(10-t)cm，

故填：t ，10-t；

（2）解：如圖2中

∵CA=CB，∠C=90°

∴∠A=∠B=45°，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB=90°

∴∠FEB=∠B=45°

∴EF=BF

∵BE=t，

∴EF=BF=t

∴AD=EF

∵∠EFB=∠C=90°

∴AD∥EF，

∴四邊形ADFE是平行四邊形

（3）解：①如圖3-1中，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，四邊形EFCD是正方形，此時(shí)AD=DE=CD，

∴t=10-t,∴t=5

②如圖3-2中，當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，

∵DF∥AC，

∴∠AED=∠EDF=90°，

∵∠A=45°

∴AD=AE，

∴t=(10- t)，

解得t=

③當(dāng)∠EFD=90°，△DFE不存在

綜上所述，滿足條件的t的值為5s或s.