【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3)題
數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:如圖, 中,,點P為邊AB上一點(不與A、B重合),過P作于Q,做QE∥AB交BC于點E,連接PE,將線段PE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°到PF,連接QF,探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自已的想法
小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)為直角.”
小偉:“我通過一線三直角的模型構(gòu)造三角形全等可以解決問題.”
小強:“我構(gòu)造等腰直角三角形,再利用全等三角形可以解決問題.”
老師:“若其他條件不變,PE=AC,就可以求出的值.”
(1)多少度?四邊形為什么特殊四邊形?(直接寫出答案)
(2)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明;
(3)若其他條件不變,PE=AC,求的值.
【答案】1)45°,平行四邊形;(2)PA=QF+QE.證明見解析;(3)或.
【解析】
(1)四邊形PQEB是平行四邊形.根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明.
(2)結(jié)論:PA=QF+QE.如圖1中,連接EF交PQ于O,作GP⊥PQ交QF的延長線于G.證明△GPF≌△QPE(SAS)即可解決問題.
(3)如圖2中,作PG⊥BC于G.則四邊形PGCQ是矩形,設(shè)CQ=EC=BG=PG=a,QA=PQ=BE=b,想辦法求出PB,AB(用b表示即可).
(1)如圖1中,
∵CA=CB,∠C=90°,
∴∠A=∠B=45°,
∵PQ⊥AC,
∴∠AQP=90°,
∴∠APQ=90°-∠A=45°,
∵QE∥AB,
∴∠PQE=∠APQ=45°.
∵∠AQB=∠C=90°,
∴PQ∥BC,
∵QE∥AB,
∴四邊形PQEB是平行四邊形.
(2)結(jié)論:PA=QF+QE.
理由:如圖1中,連接EF交PQ于O,作GP⊥PQ交QF的延長線于G.
∵PF=PE,∠EPF=90°,
∴∠PFO=∠PEO=45°=∠OQE,
∵∠FOP=∠QOE,
∴△FOP∽△QOE,
∴,
∴,
∵∠FOQ=∠POE,
∴△FOQ∽△POE,
∴∠FQO=∠PEO=45°,
∴∠G=∠PQG=45°,
∴PG=PQ,
∵∠GPQ=∠FPE=90°,
∴∠GPF=∠QPE,∵PF=PE,
∴△GPF≌△QPE(SAS),
∴GF=QE,
∴QF+QE=QF+FG=GQ=PQ,
∵PA=PQ,
∴QF+QE=PA.
(3)如圖2中,作PG⊥BC于G.則四邊形PGCQ是矩形,
由(2)可知∠EQC=45°,
∴CQ=EC=PG=BG,設(shè)CQ=EC=BG=PG=a,QA=PQ=BE=b,
∴EG=b-a,
∵PE=(a+b),
在Rt△PEG中,∵PE2=PG2+GE2,
∴(a+b)2=a2+(b-a)2,
整理得:7a2-10ab+3b2=0,
∴(a-b)(7a-3b)=0,
∴a=b或a=b,
當(dāng)a=b時,易證PA=PB,此時,
當(dāng)a=b時,PB=a=b,AB=(a+b)= b,
∴ .
綜上所述,的值為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,點A、B、C在小正方形的頂點上.
(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A′B′C′.
(2)四邊形 ABCA′的面積為_____;
(3)在直線l上找一點P,使PA+PB的長最短,則這個最短長度為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點E為△ABC內(nèi)切圓的圓心,連接AE的延長線交BC于點F,交⊙O于點D;連接BD,過點D作直線DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求證:直線DM是⊙O的切線;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在東西方向的海岸線MN上有A,B兩艘船,船長都收到已觸礁擱淺的船P的求救信號,已知船P在船A的北偏東60°方向36海里處,船P在船B頂點北偏西37°方向,若船A,船B分別以30海里/小時,20海里/小時的速度同時出發(fā),勻速前往救援,通過計算判斷哪艘船先到達(dá)船P處.(參考數(shù)據(jù)=1.73,sin37°=0.6,cos37°=0.80)
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【題目】某學(xué)校有一塊長方形活動場地,長為米,寬比長少米,實施“陽光體育”行動以后,學(xué)校為了擴(kuò)大學(xué)生的活動場地,讓學(xué)生能更好地進(jìn)行體育活動,將操場的長和寬都增加米.
(1)求活動場地原來的面積是多少平方米.(用含的代數(shù)式表示)
(2)若,求活動場地面積增加后比原來多多少平方米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)
求出拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo);
在直角坐標(biāo)系中,直接畫出拋物線(注意:關(guān)鍵點要準(zhǔn)確,不必寫出畫圖象的過程);
根據(jù)圖象回答:
①取什么值時,拋物線在軸的上方?
②取什么值時,的值隨的值的增大而減?
根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集.
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【題目】如圖,在△ABE中,C為邊AB延長線上一點,BC=AE,點D在∠EBC內(nèi)部,且∠EBD=∠A=∠DCB.
(1)求證:△ABE≌△CDB.
(2)連結(jié)DE,若∠CDB=60°,∠AEB=50°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線的部分圖象如圖,則下列說法:①對稱軸是直線;②當(dāng)時,;③;④方程無實數(shù)根,其中正確的有________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中.AB=AC.∠BAC=36°.BD是∠ABC的平分線,交AC于點D,E是AB的中點,連接ED并延長,交BC的延長線于點F,連接AF.求證:(1)EF⊥AB; (2)△ACF為等腰三角形.
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