Question

如圖，已知△ABC，BC=5，AB=4，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形，則圖中陰影部分的面積之和的最大值是　　　　　　．

　

Answer 1

　30　．

 

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；正方形的性質(zhì)．

【分析】把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，然后判斷出A、C、H′三點(diǎn)共線，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得S_△BCH′=S_△ABC，即S_△CFH=S_△ABC，同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，從而得到陰影部分的面積的和=3S_△ABC，再根據(jù)三角形的面積公式，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，面積最大列式計(jì)算即可得解．

【解答】解：如圖，把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，

∵Ⅱ表示正方形，

∴AC=CH=CH′，∠ACH+∠BCH′=360°﹣90°×2=180°，

∴A、C、H′三點(diǎn)共線，

∴S_△BCH′=S_△ABC，

∴S_△CFH=S_△ABC，

同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，

∴陰影部分的面積的和=3S_△ABC，

∵BC=5，AB=4，

∴當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為S_△ABC=AB•AC=×4×5=10，

∴三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值為3×10=30．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線判斷出每一個(gè)陰影部分的面積等于△ABC的面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．