Question

已知⊙O中弦AB⊥弦CD于E，tan∠ACD=

（1）如圖1，若AB為⊙O的直徑，BE=8，求AC的長

（2）如圖2，若AB不為⊙O的直徑，BE=4，F(xiàn)為弧BC上一點，弧BF=弧BD，且CF=7，求AC的長．

　

Answer 1

【考點】垂徑定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．

【分析】（1）連接BD，根據(jù)垂徑定理求得CE=DE，根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=∠ABD，從而得出==，即=，求得CE=ED=12，根據(jù)tan∠ACD=，求得AE=CE=18，然后應(yīng)用勾股定理即可求得AC．

（2）連接CB，過B作BG⊥CF于G，由弧BF=弧BD，得出∠BCE=∠BCG，根據(jù)AAS證得△CEB≌△CGB，從而求得BG=BE=4，CE=CG，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BFG=∠A，從而求得△BFG∽△CAE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出==，求得FB=BG=6，進而求得CE=CG=13，然后根據(jù)勾股定理即可求得AC的長．

【解答】解：（1）如圖1，連接BD，

∵直徑AB⊥弦CD，

∴CE=DE，

∵∠ACD=∠ABD，

∴tan∠ABD=tan∠ACD=，

∴==，即=，

∴ED=12，

∴CE=ED=12，

∴AE=CE=18，

∴AC==6．

（2）連接CB，過B作BG⊥CF于G，

∵弧BF=弧BD，

∴∠BCE=∠BCG，

在△CEB和△CGB中

∴△CEB≌△CGB（AAS），

∴BG=BE=4，

∵∠BFG=∠A，∠FGB=∠AEC=90°，

∴△BFG∽△CAE，

∴==，

∴FG=BG=6，

∴CE=CG=13，

∴AC=．

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，（2）作出輔助線關(guān)鍵全等三角形是解題的關(guān)鍵．