Question

如圖，在?ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠C=∠EFB．
①求證：BC•AF=BF•DE；
②若∠AED=30°，AB=5

3

，AF=3，求CE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：證明題

分析：（1）求三角形相似就要得出兩組對應的角相等，已知了∠BFE=∠C，根據等角的補角相等可得出∠ADE=∠AFB，根據AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，這樣就構成了兩三角形相似的條件．
（2）根據△ABF∽△EAD得到

AB

AE

=

AF

ED

，根據∠AED=30°、AB=5

3

得到BE=5，AE=10代入即可解得：ED=2

3

，從而得到CE=3

3

．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．
∴

AD

BF

=

DE

AF

即：AD•AF=BF•DE
∵AD=BC
∴BC•AF=BF•DE．
（2）∵△ABF∽△EAD
∴

AB

AE

=

AF

ED

∵∠AED=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=5

3

，
∴BE=5，AE=10，
即：

5 3

10

=

3

ED

解得：ED=2

3

∴CE=3

3

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據平行四邊形的性質得到相等的角和相等的線段．