Question

如圖，平面直角坐標系中，已知點A（a-1，a+b），B（a，0），且

a+b-3

+(a-2b)2=0，C為x軸上點B右側(cè)的動點，以AC為腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直線DB交y軸于點P．
（1）求證：AO=AB；
（2）求證：△AOC≌△ABD；
（3）當點C運動時，點P在y軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，作AE⊥OB于點E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）設(shè)∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性質(zhì)可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的長度不變，故可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵

a+b-3

+（a-2b）²=0，
∴

a+b-3=0 a-2b=0

，解得

a=2 b=1

，
∴A（1，3），B（2，0），
作AE⊥OB于點E，
∵A（1，3），B（2，0），
∴OE=1，BE=2-1=1，
在△AEO與△AEB中，
∵

AE=AE ∠AEO=∠AEB=90° OE=BE

，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；

（2）證明：∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC與△ABD中，
∵

OA=AB ∠OAC=∠BAD AC=AD

，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；

（3）解：點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．
理由：設(shè)∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，∠POB=90°，
∴OP長度不變，
∴點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．