已知兩個共一個頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,
∠ABC=∠CEF=90°,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME.
(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時,求證:MB∥CF;
(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長;
(3)如圖2,當(dāng)∠BCE=45°時,求證:BM=ME.
解答:(1)證法一:
如答圖1a,延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn),
又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn),
∴BM為△ADF的中位線,
∴BM∥CF.………………………(3分)
證法二:
如答圖1b,延長BM交EF于D,
∵∠ABC=∠CEF=90°,
∴AB⊥CE,EF⊥CE,
∴AB∥EF,
∴∠BAM=∠DFM,
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn),
∴AM=MF,
∵在△ABM和△FDM中,
,
∴△ABM≌△FDM(ASA),
∴AB=DF,
∵BE=CE﹣BC,DE=EF﹣DF,
∴BE=DE,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴∠EBM=45°,
∵在等腰直角△CEF中,∠ECF=45°,
∴∠EBM=∠ECF,
∴MB∥CF;………………………(3分)
(2)如答圖2a所示,延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,AC=AD=a,
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),
∴BM=DF.
分別延長FE與CA交于點(diǎn)G,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=a,
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),
∴ME=AG.
∵CG=CF=a,CA=CD=
a,
∴AG=DF=a,
∴BM=ME=×
a=
a.………………………(7分)
(3)證法一:
如答圖3a,延長AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD,
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴BM=DF.
延長FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG,
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴ME=AG.
在△ACG與△DCF中,
,
∴△ACG≌△DCF(SAS),
∴DF=AG,
∴BM=ME.………………………(12分)
證法二:
如答圖3b,延長BM交CF于D,連接BE、DE,
∵∠BCE=45°,
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°,
∴AB∥CF,
∴∠BAM=∠DFM,
∴M是AF的中點(diǎn),
∴AM=FM,
在△ABM和△FDM中,,
∴△ABM≌△FDM(ASA),
∴AB=DF,BM=DM,
∴AB=BC=DF,
∵在△BCE和△DFE中,
,
∴△BCE≌△DFE(SAS),
∴BE=DE,∠BEC=∠DEF,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形,
又∵BM=DM,
∴BM=ME=BD,
故BM=ME.
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