Question

如圖①，將?ABCD置于直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上（B在C的左邊），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，4），直線(xiàn)MN：y=

3

4

x-6沿著x軸的負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度平移，設(shè)在平移過(guò)程中該直線(xiàn)被□ABCD截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為m，平移時(shí)間為t，m與t的函數(shù)圖象如圖②．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；在平移過(guò)程中，該直線(xiàn)先經(jīng)過(guò)B、D中的哪一點(diǎn)？

 

；（填“B”或“D”）
（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

，m=

 

，a=

 

；
（3）求圖②中線(xiàn)段EF的解析式；
（4）t為何值時(shí)，該直線(xiàn)平分?ABCD的面積？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)圖2判斷出CM的長(zhǎng)，然后求出OC，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)被截線(xiàn)段在一段時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度不變可以判斷出先經(jīng)過(guò)點(diǎn)B后經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；
（2）根據(jù)圖2求出BM=10，再求出OB，然后寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的長(zhǎng)度，從而得到BC=CD，判斷出?ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知n=DO，根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減表示出平移后的直線(xiàn)解析式，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出t的值即為a；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出F的坐標(biāo)，然后設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（4）根據(jù)過(guò)平行四邊形中心的直線(xiàn)平分平行四邊形的面積，求出菱形的中心坐標(biāo)，然后代入直線(xiàn)MN的解析式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則

3

4

x-6=0，解得x=8，
令x=0，則y=-6，
∴點(diǎn)M（8，0），N（0，-6），
∴OM=8，ON=6，
由圖2可知5秒后直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，
∴C（3，0），
∵10秒～a秒被截線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，
∴先經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；

（2）由圖2可知BM=10，
∴OB=BM-OM=10-8=2，
∴B（-2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD=

OD2+OC2

=

42+32

=5，
∴BC=CD=5，
∴?ABCD是菱形，
∵

OC

OD

=

ON

OM

=

3

4

，
∴MN⊥CD，
∴m=DO=4，
∵設(shè)直線(xiàn)MN向x軸負(fù)方向平移的速度為每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度，
平移后的直線(xiàn)解析式為y=

3

4

（x+t）-6，
把點(diǎn)D（0，4）代入得，

3

4

（0+t）-6=4，
解得t=

40

3

，
∴a=

40

3

；
故答案為：（1）（3，0），B；（2）（-2，0），4，

40

3

；

（3）由（2）可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

40

3

，4），
由菱形的性質(zhì)，點(diǎn)A（-5，4），
代入直線(xiàn)平移后的解析式得，

3

4

（-5+t）-6=4，
解得t=

55

3

，
∴點(diǎn)F（

55

3

，0）
設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b，
則

40 3 k+b=4 55 3 k+b=0

，
解得

k=- 4 5 b= 44 3

，
所以線(xiàn)段EF的解析式為：y=-

4

5

x+

44

3

；

（4）∵B（-2，0），D（0，4），
∴?ABCD的中心坐標(biāo)為（-1，2），
∵直線(xiàn)M平分?ABCD的面積，
∴直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)中心坐標(biāo)，
∴

3

4

（-1+t）-6=2，
解得t=

35

3

，
即t=

35

3

時(shí)，該直線(xiàn)平分?ABCD的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，表示出平移后的直線(xiàn)MN的解析式是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．