Question

【題目】已知：在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

連接，在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與是否始終相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；

連接，設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

連接、，是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

探索：把沿直線(xiàn)折疊成，設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】相似，理由見(jiàn)解析；∴；存在，的值為；，．

【解析】

（1）已知AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)，進(jìn)而即可求得△APQ∽△ABC.

（2）根據(jù)△APQ∽△ABC即可求得，即可求得S關(guān)于t的方程式.

（3）先求證△PCQ∽△QBC進(jìn)而可以得，即，求得t的值即可解題.

（4）分別用t表示PE、EQ、BQ的值，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，即可解題.

(1)相似

∵∠ACB=〖90〗^

∴AB=√(AC^2+BC^2 )=5

∵PA=5/4 t，AQ=t

∴PA/AB=AQ/BC=t/4

∵∠A=∠A

∴△APQ∽△ABC

(2)∵△APQ∽△ABC

∴∠PQA=∠C=〖90〗^

∵PQ/BC=AQ/AC

∴PQ/3=t/4

∴PQ=3/4 t

∵CQ=4-t

∴S=1/23/4 t(4-t)=-3/8 t^2+3/2 t

(3)存在

∵PC⊥BQ

∴∠PCQ+∠BQC=〖90〗^

∵∠CBQ+∠BQC=〖90〗^

∴∠PCQ=∠CBQ

∵∠PQC=∠BCQ=〖90〗^

∴△PCQ∽△QBC

∴PQ/CQ=CQ/BC

∴(3/4 t)/(4-t)=(4-t)/3

∴t_1=(41+3√73)/8（舍去）t_2=(41-3√73)/8

∴存在t的值為(41-3√73)/8，使PC⊥BQ．

(4)t_1=1，t_2=7/4．