Question

（13分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，

 

（1）圖中共有 對(duì)相似三角形，寫出來分別為 （不需證明）；

（2）已知AB=10，AC=8，請(qǐng)你求出CD的長；

（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如下圖），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）3對(duì)，分別是：△ABC∽△ACD， △ABC∽△CBD ， △ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可得到3對(duì)相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)△ABC的面積不變得到AB•CD=AC•BC，即可求出CD的長；

（3）由于∠B公共，所以以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．

試題解析：（1）圖1中共有3對(duì)相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．

故答案為3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）如圖1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC==6．

∵△ABC的面積=AB•CD=AC•BC，∴CD==4.8；

（3）存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，∴OB==3.6．

分兩種情況：①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖2①，此時(shí)△PQB∽△ACB，

∴，∴，解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，

∴OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35，BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．

在△BPQ中，由勾股定理，得PQ==，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）；

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，如圖2②，此時(shí)△QPB∽△ACB，∴，∴，

解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．

過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．

∵△QPB∽△ACB，∴，∴，∴PE=1.8．

在△BPE中，BE==，∴OE=OB﹣BE=3.6﹣0.45=3.15，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3.15，1.8）；

綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.35，3）或（3.15，1.8）．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理．