【題目】在Rt中,,AB=BC,F為AB上一點,連接CF,過B作BH⊥CF于G,交AC于H.
(1)如圖1,延長GH到點E,使GE=GC,連接AE,求的度數(shù);
(2)如圖2,若F為AB中點,連接FH,請?zhí)骄?/span>BH、FH、CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)BH+HF=CF,理由見解析
【解析】
(1)過點A作AP⊥AB于點P,先找條件證明△ABP≌△BCG,根據(jù)對應(yīng)邊相等,以及邊的關(guān)系,得到PE=PA,又AP⊥PE,得到△APE是等腰直角三角形,即可得到∠E的度數(shù);
(2)過點A作AK⊥AB交BH的延長線于點K,推出Rt△BAK≌Rt△CBF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AK=BF,BK=CF.由F為AB的中點,得到AF=BF,等量代換得到AK=AF,證得△AHK≌△AHF,得到KH=FH.根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論;
(1)解:過點A作AP⊥AB于點P.
∵BH⊥CF,
∴∠APB=∠CGB=90°,
∵,
∴∠ABP+∠GBC=∠CBG+∠GBC=90°,
∴∠ABP=∠CBG,
在△ABP與△BCG中,
∴△ABP≌△BCG(AAS),
∴BP=CG,AP=BG,
∵GE=GC,
∴BP=GE,
∴PE=BG,
∴PE=PA,
又∵
∴△APE是等腰直角三角形,.
(2)解:BH+HF=CF,理由如下:
過點A作AK⊥AB交BH的延長線于點K.
∴∠BAK=∠CBF=90°,
∴∠K+∠ABK=∠CFB+∠ABK=90°,
∴∠K=∠CFB,
在△ABK與△BCF中,
,
∴△ABK≌△BCF(AAS),
∴AK=BF,BK=CF.
∵F為AB的中點,
∴AF=BF,
∴AK=AF,
又∵△APE是等腰直角三角形, .
∴∠HAK=∠HAF
在△AKH與△AFH中,
∴△AKH≌△AFH(SAS),
∴HK=HF,
∴BH+HF=BH+HK=BK=CF.
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【題目】一天晚上,李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度,如圖,當(dāng)李明走到點A處時,張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等,接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走,走到點B處時,李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB,并測得AB=1.25m.已知李明直立時的身高為1.75m,求路燈CD的高.
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【題目】已知:k為正數(shù),直線l1:y=kx+k-1與直線l2:y=(k+1)x+k及x軸圍成的三角形的面積為Sk,則S1+S2+S3+....+S2016的值為______.
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【題目】在 RtABC 中,ACB 90,點O在 BC 上,經(jīng)過點 的⊙ O 與 BC ,AB 分別相交于點 D ,E 連接 CE , CE CA .
(1)求證: CE 是⊙ O 的切線;
(2)若 tan ABC ,BD 4,求CD 的長.
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【題目】三角形內(nèi)角和定理告訴我們:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.如何證明這個定理呢?
我們知道,平角是180°,要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角中去,請根據(jù)如下條件,證明定理.
(定理證明)
已知:△ABC(如圖①).
求證:∠A+∠B+∠C=180°.
(定理推論)如圖②,在△ABC中,有∠A+∠B+∠ACB=180°,點D是BC延長線上一點,由平角的定義可得∠ACD+∠ACB=180°,所以∠ACD= .從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
(初步運用)如圖③,點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點.
(1)若∠A=80°,∠DBC=150°,則∠ACB= ;
(2)若∠A=80°,則∠DBC+∠ECB= .
(拓展延伸)如圖④,點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點.
(1)若∠A=80°,∠P=150°,則∠DBP+∠ECP= ;
(2)分別作∠DBP和∠ECP的平分線,交于點O,如圖⑤,若∠O=50°,則∠A和∠P的數(shù)量關(guān)系為 ;
(3)分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN,如圖⑥,若∠A=∠P,求證:BM∥CN.
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【題目】如圖所示,直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A,分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F,DE⊥a于點E,若DE=8,BF=5,則EF的長為__.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,BE=CE,MN=1,線段MN的端點M,N分別在CD,AD上滑動,當(dāng)DM=______________時,△ABE與以D,M,N為頂點的三角形相似。
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【題目】已知DB∥EH,F是兩條射線內(nèi)一點,連接DF、EF.
(1)如圖1:求證:∠F=∠D+∠E;
(2)如圖2:連接DE,∠BDE、∠HED的角平分交于點F時,求∠F的度數(shù);
(3)在(2)條件下,點A是射線DB上任意一點,連接AF,并延長交EH于點G,求證:AF=FG.
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【題目】如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM,ON上,當(dāng)B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,點D到點O的最大距離為_____.
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