Question

【題目】設(shè)都是實數(shù)，且．我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)的所有值的全體叫做閉區(qū)間、表示為．對于一個函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時，有，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此一次函數(shù)的解析式；

（3）若實數(shù)滿足.且，當(dāng)二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是；理由見解析；（2）或；（3），．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值；
（3）y=x2-2x=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，所以該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是-2，且當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①c＜2＜d；②c≥2．

解：（1）是，由函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)1≤x≤2020時，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小．
而當(dāng)x=1時，y=2020；
x=2020，y=1，
故也有1≤y≤2020，
所以，函數(shù)是閉區(qū)間上[1，2020]的“閉函數(shù)”
（2）因為一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，
所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
必有：①當(dāng)k＞0時，
解得k=1，b=0，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x．
②當(dāng)k＜0時， ，
解得k=-1，b=m+n
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+m+n故一次函數(shù)的解析式為y=x或y=-x+m+n
（3）由于函數(shù)y=x2-2x的圖象開口向上，且對稱軸為x=2，頂點為（2，-2）
由題意根據(jù)圖象，分以下兩種情況討論：
①當(dāng)2≤c＜d時，必有x=c，時，y=c且x=d時，y=d即方程y=x2-2x=x必有兩個不等的實數(shù)根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的兩邊，這與2≤c＜d矛盾，舍去；
②當(dāng)c＜2＜d時，必有函數(shù)值y的最小值為-2，由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間[c，d]上的“閉函數(shù)”，故必有c=-2，從而有[c，d]=[-2，d]．
而當(dāng)x=-2時，y=6即得點（-2，6），又點（-2，6）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點為（6，6），由“閉函數(shù)”的定義可知必有x=d時，y=d，即d2-2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=-2，d=6符合題意，
綜上所述，c=-2，d=6為所求的實數(shù)．