Question

【題目】觀察圖，解答下列問題．

（1）圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個(gè)小圓圈，第二層有3個(gè)圓圈，第三層有5個(gè)圓圈，…，第六層有11個(gè)圓圈．如果要你繼續(xù)畫下去，那么第八層有幾個(gè)小圓圈？第n層呢？
（2）某一層上有65個(gè)圓圈，這是第幾層？
（3）數(shù)圖中的圓圈個(gè)數(shù)可以有多種不同的方法．
比如：前兩層的圓圈個(gè)數(shù)和為（1+3）或22 ，
由此得，1+3=22 ．
同樣，
由前三層的圓圈個(gè)數(shù)和得：1+3+5=32 ．
由前四層的圓圈個(gè)數(shù)和得：1+3+5+7=42 ．
由前五層的圓圈個(gè)數(shù)和得：1+3+5+7+9=52 ．
…
根據(jù)上述請你猜測，從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和是多少？用公式把它表示出來．
（4）計(jì)算：1+3+5+…+99的和；
（5）計(jì)算：101+103+105+…+199的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：第八層有15個(gè)小圓圈，第n層有（2n﹣1）個(gè)小圓圈
（2）解：令2n﹣1=65，
得，n=33．
所以，這是第33層
（3）解：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
（4）解：1+3+5+…+99=502=2500
（5）解：101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）
=1002﹣502
=7500
【解析】（1）根據(jù)題意可知每一層圓圈個(gè)數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，則第n層為2n+1；（2）由（1）和已知條件某一層上有65個(gè)圓圈可列方程求解；（3）根據(jù)已知條件可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；（4）由（3）可得1+3+5+…+99=502；（5）將101+103+105+…+199轉(zhuǎn)化成（1+3+5+…+199）﹣（1+3+5+…+99）求解即可。