Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先確定出EG⊥AC時(shí),四邊形AGCD的面積最小,再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離,最后用面積之和即可得出結(jié)論．

解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴CD＝AB＝3,AD＝BC＝4,∠ABC＝∠D＝90°,根據(jù)勾股定理得,AC＝5,

∵AB＝3,AE＝2,

∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí),點(diǎn)G始終在AC的下方,

設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h,

∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6,

∴要四邊形AGCD的面積最小,即h最小,

∵點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心,BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點(diǎn),

∴EG⊥AC時(shí),h最小,即點(diǎn)E,點(diǎn)G,點(diǎn)H共線．

由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°,

延長(zhǎng)EG交AC于H,則EH⊥AC,

在Rt△ABC中,sin∠BAC＝,

在Rt△AEH中,AE＝2,sin∠BAC＝=,

∴EH＝,AE＝,

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝,

∴S四邊形AGCD最小＝h+6＝+6＝.

故答案為:．