Question

已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，P是弧ABC的中點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：OP∥BC；
（2）如圖2，PC交AB于D，當(dāng)△ODC是等腰三角形時(shí)，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)AC，延長PO交AC于H，如圖1，由P是弧ABC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得PH⊥AC，再根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，然后根據(jù)OP∥BC；
（2）如圖2，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到PA=PC，則∠PAC=∠PCA，再由OA=OC得∠OAC=∠OCA，所以∠PAO=∠PCO，然后分類討論：當(dāng)DO=DC，設(shè)∠DCO=x，則∠DOC=x，∠PAO=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可表示出∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∠OPA=∠PAO=x，∠POD=2x，然后在△POD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°；當(dāng)CO=CD，設(shè)∠DCO=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可表示出∠OPC=x，∠PAO=x，∠POD=2x，∠ODC=3x，∠DOC=∠ODC=3x，然后在△POC中利用三角形內(nèi)角和定理得x+x+5x=180°，解得x=（

180

7

）°，即∠PAO=（

180

7

）°．

解答：（1）證明：連結(jié)AC，延長PO交AC于H，如圖1，
∵P是弧ABC的中點(diǎn)，
∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OP∥BC；
（2）解：如圖2，
∵P是弧ABC的中點(diǎn)，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO，
當(dāng)DO=DC，設(shè)∠DCO=x，則∠DOC=x，∠PAO=x，
∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，
∵∠OPA=∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，
即∠PAO=36°，
當(dāng)CO=CD，設(shè)∠DCO=x，則∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠POD=2x，
∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，
∴∠DOC=∠ODC=3x，
在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（

180

7

）°，
即∠PAO=（

180

7

）°．
綜上所述，∠A的度數(shù)為36°或（

180

7

）°．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理．