Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y=

k

x

（x＞0）的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E．
（1）當點C的坐標為（2，2）．
①請直接寫出射線OC的解析式；
②求陰影部分面積S的值最小時，點A的坐標；
（2）若

OD

OC

=

1

3

，S_△OAC=4，請直接寫出雙曲線的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）設射線OC的解析式為y=mx（x≥0），根據(jù)待定系數(shù)法即可求得射線OC的解析式；
（2）根據(jù)梯形的性質，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點C的坐標為（2，2），則A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=

k

x

（x＞0）可得到A點的坐標為（

k

2

，2），E點的坐標為（2，

k

2

），然后計算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2=

1

8

（k-2）²+

3

2

，當k=2時，S_陰影部分最小值為

3

2

，則A點的坐標為（1，2）．
（3）設D點坐標為（a，

k

a

），由

OD

OC

=

1

3

，則3OD=OC，于是C點坐標為C點坐標為（3a，

3k

a

），得到A點的縱坐標為

3k

a

，把y=

3k

a

代入y=

k

x

得x=

a

3

，確定A點坐標為（

a

3

，

3k

a

），根據(jù)三角形面積公式由S_△OAC=4得到

1

2

×（3a-

a

3

）×

3k

a

=4，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）設射線OC的解析式為y=mx（x≥0），
∵C（2，2），
∴2=2m，解得m=1，
∴射線OC的解析式為y=x（x≥0）；
（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點C的坐標為（2，2），
∴A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），
把y=2代入y=

k

x

（x＞0）得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

（x＞0）得y=

k

2

，
∴A點的坐標為（

k

2

，2），E點的坐標為（2，

k

2

），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
當k-2=0，即k=2時，S_陰影部分最小，最小值為

3

2

；
∴A點的坐標為（1，2）．
（3）設D點坐標為（a，

k

a

），
∵

OD

OC

=

1

3

，
∴3OD=OC，
∴C點坐標為（3a，

3k

a

），
∴A點的縱坐標為

3k

a

，
把y=

3k

a

代入y=

k

x

得x=

a

3

，
∴A點坐標為（

a

3

，

3k

a

），
∵S_△OAC=4，
∴

1

2

×（3a-

a

3

）×

3k

a

=4，
∴k=1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

（x＞0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：當k＞0時，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象分布在第一、三象限；點在反比例函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；運用梯形的性質得到平行線段，從而找到點的坐標特點．