【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE,設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)線段BD、CE的數(shù)量關(guān)系是________;并說(shuō)明理由;
(2)探究:當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)時(shí),α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,若∠BAC=90°,CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證:EF=DC.
【答案】(1)BD=CE,理由見(jiàn)解析;(2)α+β=180°,理由見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)首先求出∠BAD=∠CAE,再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可得BD=CE;
(2)利用△ABD≌△ACE,推出∠BAC+∠BCE=180°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;
(3)利用△ABD≌△ACE,可得∠B=∠ACE,由∠BAC=90°,AB=AC得∠B=∠ACE=∠ACB=45°,可證出△BCF是等腰直角三角形,則BC=FC,即可得出結(jié)論.
(1)BD=CE.
證明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE;
(2)α+β=180°
理由:∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B,
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠BCE=180°,
即α+β=180°;
(3)∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠ACE,BD=CE,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°,
∴△BCF是等腰直角三角形,
∴BC=FC,
∴BC-BD=FC-CE,即EF=DC.
故答案為:(1)BD=CE,理由見(jiàn)解析;(2)α+β=180°,理由見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】畫(huà)圖并填空:如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過(guò)一次平移后得到△A′B′C′,圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′.
(1)在給定方格紙中畫(huà)出平移后的△A′B′C′;
(2)畫(huà)出AB邊上的中線CD
(3)畫(huà)出BC邊上的高線AE
(4)點(diǎn)為方格紙上的格點(diǎn)(異于點(diǎn)),若,則圖中的格點(diǎn)共有 個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn),BM=3,點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DN,ME,DN與ME相交于點(diǎn)O.若△OMN是直角三角形,則DO的長(zhǎng)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中點(diǎn),E,F分別是AC,BC.上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A,C重合),且連接EF并取EF的中點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使,連接DE,DF,GE,GF
(1)求證:四邊形EDFG是正方形;
(2)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探索題:(x-1)((x+1)=x2-1,
(x-1)(x2+x+1)=x3-1,
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1.
(1)觀察以上各式并猜想:
①(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=________________________;
②(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x3+x2+x+1)= ________________________;
(2)請(qǐng)利用上面的結(jié)論計(jì)算:
①(-2)50+(-2)49+(-2)48+…+(-2)+1
②若x1007+x1006+…+x3+x2+x+1=0,求x2016的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,8),B(1,6),C(7,6).
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)連接OB,OD,BD,請(qǐng)求出三角形OBD的面積.
(3)若長(zhǎng)方形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)邊BC與x軸重合時(shí),停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,t為多少時(shí),三角形OBD的面積等于長(zhǎng)方形ABCD的面積的?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1+∠2=180o, ∠3=∠B,試說(shuō)明∠DEC+∠C=180o.請(qǐng)完成下列填空:
解:∵∠1+∠2=180o(已知)
又∵∠1+∠4=180o(平角定義)
∴∠2=∠4(________)
∴______∥______(_________)
∴∠3 = ∠ADE(__________)
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠ADE=∠B(等量代換)
∴BC∥_____(_________)
∴∠DEC+∠C=180o(__________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,、、分別平分、和。以下結(jié)論:①;②;③;④. 其中正確的結(jié)論是
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】淇淇和嘉嘉在學(xué)習(xí)了利用相似三角形測(cè)高之后分別測(cè)量?jī)蓚(gè)旗桿高度.
(1)如圖1所示,淇淇將鏡子放在地面上,然后后退直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,測(cè)得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4m,已知淇淇同學(xué)的身高是1.54m,眼睛位置A距離淇淇頭頂?shù)木嚯x是4cm,求旗桿DE 的高度.
如圖2所示,嘉嘉在某一時(shí)刻測(cè)得 1 米長(zhǎng)的竹竿豎直放置時(shí)影長(zhǎng)2米,在同時(shí)刻測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)時(shí),旗桿的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他測(cè)得落在地面上的影長(zhǎng)為10米,落在斜坡上的影長(zhǎng)為米,∠DCE=45°,求旗桿AB的高度?
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