Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若OA、OC為方程x²-mx+3.84=0的二根，求△AOB的面積．

Answer 1

考點：梯形,勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）首先過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，易得四邊形ACKD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，易求得BD²+DK²=BK²，即可得△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，繼而證得AC⊥BD；
（2）由OA、OC為方程x²-mx+3.84=0的二根，OA+OC=AC=4可知m=4，所以方程為x²-4x+3.84=0，解方程求得OA，OC的值，然后根據(jù)勾股定理求得OB，繼而求得△AOB的面積．

解答：（1）證明：過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴CK=AD=2，DK=AC=4，DK∥AC，
∴BK=BC+CK=5，
∴BD²+DK²=BK²，
∴△BDK是直角三角形，∠BDK=90°，
即DK⊥BD，
∴AC⊥BD；

（2）解：∵OA、OC為方程x²-mx+3.84=0的二根，OA+OC=AC=4，
∴方程為x²-4x+3.84=0，
解方程得：x₁=1.6，x₂=2.4，
∴OA=1.6，OC=2.4，
在RT△BOC中，OB=

BC2-OC2

=

32-2．42

=1.8，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×1.6×1.8=

36

25

．

點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理．此題綜合性較強，難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．