Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=5，∠ABC=60°，E是AB邊上的一點

AE

BE

=

2

3

，點F是射線BC上一點，連接EF交射線DC于點G．
（1）求BC的長；
（2）若點F在BC的延長線上，設(shè)CF=x，

DG

CG

=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)CF=2時，求DG的長．

Answer 1

考點：梯形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）過點D作DM∥AB交BC于點M，即可得到一個平行四邊形，進而得到一個等邊三角形，最后求出BC的長；
（2）延長FE交DA的延長線于點O，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答即可；
（3）結(jié)合第二問的結(jié)論代入進行求值．

解答：解：（1）如圖1所示，過點D作DM∥AB交BC于點M，
則四邊形ABMD是平行四邊形，
∴BM=AD=5，∠DMC=∠ABC=60°，
∵AD=AB=CD=5，
∴△CMD是等邊三角形，
∴CM=CD=5，
∴BC=BM+CM=5+5=10；
（2）如圖2所示，延長FE交DA的延長線于點O，
∵AD∥BC，
∴△ODG∽△FCG，
∴

OD

CF

=

DG

CG

，
∵CF=x，

DG

CG

=y，
∴

OD

x

=y，①
∵AD∥BC，
∴△OAE∽△FBE，
∴

OA

BF

=

AE

BE

，
∵

AE

BE

=

2

3

，
∴

OA

10+x

=

2

3

，
∴OA=

2

3

(10+x)，②
由①②得y=

35

3x

+

2

3

，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為
y=

35

3x

+

2

3

，（x＞0）；
（3）當(dāng)CF=2，即x=2時，y=

35

3×2

+

2

3

=

13

3

，
即

DG

CG

=

13

3

，
∵DG+CG=5，
∴DG=

65

16

．

點評：該題目考查了等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，對邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是分析題意作出輔助線．