Question

如圖：以△ABC中的AB、AC為邊分別向外作正方形ADEB、ACGF，連接DC、BF
（1）觀察圖形，利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)說(shuō)明：△ADC繞著點(diǎn)

 

旋轉(zhuǎn)

 

°得到△ABF；
（2）猜想：CD與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的猜想．（相關(guān)知識(shí)鏈接：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）因?yàn)锳D=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；
（2）要求兩條線段的長(zhǎng)度關(guān)系，把兩條線段放到兩個(gè)三角形中，利用三角形的全等求得兩條線段相等；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及直角三角形的兩銳角互補(bǔ)，即可證得∠NMC=90°，可證得證BF⊥CD．

解答：解：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．
故答案為：A逆時(shí)針，90°；

（2）DC=BF，DC⊥BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
在△DAC和△FAB中

AD=AB ∠DAC=∠BAF AC=AF

∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=FB，∠AFN=∠ACD，
又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM=90°，
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD，
即CD與BF的數(shù)量關(guān)系是BF=CD和位置關(guān)系是BF⊥CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形中兩個(gè)三角形的位置關(guān)系解題．