Question

如圖，在一塊三角形區(qū)域ABC中，∠C=90°，邊AC=8，BC=6，現(xiàn)要在△ABC內(nèi)建造一個矩形水池DEFG，如圖的設(shè)計方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)；
（2）設(shè)DG=x，當(dāng)x取何值時，水池DEFG的面積最大？
（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1.85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為保護(hù)大樹，請設(shè)計出另外的方案，使三角形區(qū)域中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC的面積可求出AB邊上的高；
（2）由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可用含x的代數(shù)式表示GF，得到水池的面積y關(guān)于x的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求面積最大時x的值；
（3）根據(jù)相似形可算出BE小于1.85，大樹在最大水池的邊上，為了避開，以C為點在三邊上各去一點． 矩形二邊與三角形二直角邊重合．

解答：解：如圖，（1）過點C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CI，
∴

1

2

×6×8=

1

2

×10×CI，
∴CI=4.8；
∴△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)=4.8．

（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分別是△CGF和△CAB對應(yīng)邊上的高，
∴

CH

CI

=

GF

AB

，
∴

4.8-x

4.8

=

GF

10

，
∴GF=10-

25x

12

，
∵10-

25x

12

＞0，
∴0＜x＜

24

5

，
設(shè)水池的面積為y，則
y=x（10-

25x

12

）=-

25

12

x²+10x，
當(dāng)x=-

10

2×( -25 12 )

=2.4時，水池的面積最大；

（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：CI=BE：BI，
又∵FE=2.4，CI=4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，
∴BE=

FE•BI

CI

=

2.4×3.6

4.8

=1.8，
∵BE=1.8＜1.85，
∴這棵大樹在最大水池的邊上．
為了保護(hù)這棵大樹，設(shè)計方案如圖：

點評：根據(jù)題意尋找關(guān)系式，準(zhǔn)確列出二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)，計算出面積最大時GD的值．