Question

如圖，點O是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α，將△AOC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得△BDC，連結(jié)OD，
（1）當(dāng)α=95°時，是判斷△BOD的形狀，并說明理由；
（2）若OC=1，OA=2，OB=

2

，求∠BOC的度數(shù)；
（3）當(dāng)α等于多少度時，△BOD是等腰三角形？

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OCD=90°，CO=CD，∠CDB=∠COA=α，于是可判斷△COD是等腰直角三角形，則∠COD=∠CDO=45°，所以∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=80°，接著計算出∠BDO=∠CDB-∠CDO=50°，則可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠DBO=180°-∠BDO-∠BOD=50°，即有∠DBO=∠BDO，于是可判斷BOD為等腰三角形；
（2）由△COD是等腰直角三角形得到OD=

2

OC=

2

，則OB²+OD²=BD²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△BOD為等腰直角三角形，∠BOD=90°；
（3）先分別表示出∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=175°-α，∠BDO=∠CDB-∠CDO=α-45°，再計算出∠OBD=180°-∠BDO-∠BOD=50°，然后分類討論：當(dāng)OB=OD時，則∠OBD=∠BDO，即α-45°=50°，解得α=95°；當(dāng)DB=DO時，∠BOD=∠DBO，即175°-α=α-45°，解得α=110°．

解答：解：（1）△BOD為等腰三角形．理由如下：
∵△AOC繞直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，∠CDB=∠COA=α，
∴△COD是等腰直角三角形；
∴∠COD=∠CDO=45°，
∵∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD
=360°-140°-95°-45°
=80°，
而∠BDO=∠CDB-∠CDO=95°-45°=50°，
∴∠DBO=180°-∠BDO-∠BOD=50°，
∴∠DBO=∠BDO，
∴△BOD為等腰三角形；
（2）∵△COD是等腰直角三角形，
∴OD=

2

OC=

2

，
而BD=OA=2，OB=

2

，
∴OB²+OD²=BD²，
∴△BOD為等腰直角三角形，
∠BOD=90°；
（3）∠BOD=360°-∠AOB-∠AOC-∠COD=360°-140°-α-45°=175°-α，
∠BDO=∠CDB-∠CDO=α-45°，
∠OBD=180°-∠BDO-∠BOD=180°-α+45°-175°+α=50°，
當(dāng)OB=OD時，∠OBD=∠BDO，即α-45°=50°，解得α=95°；
當(dāng)DB=DO時，∠BOD=∠DBO，即175°-α=α-45°，解得α=110°，
即當(dāng)α等于95°或110°時，△BOD是等腰三角形．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理．