Question

已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BMC=90°+

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∠BAC，又直線經(jīng)過(guò)△BMC的外接圓的圓心O，試證明：點(diǎn)M是△ABC內(nèi)切圓的圓心．

Answer 1

分析：設(shè)∠BAC=2α，可證明A、B、O、C四點(diǎn)共圓，則∠ABC=∠AOC=2∠MPC，則BM平分∠ABC．同理可證CM平分∠ACB，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心．

解答：證明：如圖，設(shè)∠BAC=2α，則∠BMC=90°+α，
∠BOC=2∠BPC=2（180°-∠BMC）=2[180°-（90°+α）]=180°-2α，
∴∠BAC+∠BOC=180°，∴A、B、O、C四點(diǎn)共圓，
于是∠ABC=∠AOC=2∠MPC，
∵∠MPC=∠MBC，∴∠ABC=2∠MBC，
即

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∠ABC=∠MBC，∴BM平分∠ABC．
同理可證CM平分∠ACB，
∴點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和四點(diǎn)共圓問(wèn)題．是綜合題，難度較大．