Question

如圖，AC、BD為圓O的兩條弦，AC、BD相交于點P，連結OP，若OP平分∠BPC，求證：AC=BD．

Answer 1

考點：垂徑定理,角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：過O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，連接OC、OB，根據(jù)垂徑定理求出AC=2CN，BD=2BM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON，根據(jù)勾股定理求出BM=CN，即可得出答案．

解答：證明：
過O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，連接OC、OB，
∵OP平分∠BPC，
∴OM=ON，
在Rt△BMO和Rt△CON中，由勾股定理得：BM²=0B²-OM²，CN²=OC²-ON²，
∵OB=OC，
∴CN=BM，
由垂徑定理得：BD=2BM，AC=2CN，
∴AC=BD．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理的應用，主要考查學生的推理能力．