Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)與OA邊交于點(diǎn)E，連接OP．
（1）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為

5

2

，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，過(guò)P作PC∥OA，與OB交于點(diǎn)C，若PC=

1

2

OE，并且△OPC的面積為

3

2

，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為

5

2

求出PD的長(zhǎng)，求出直線(xiàn)AB的解析式，故可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，△OPC的面積為

3

2

求出OC的長(zhǎng)，再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA，故可得出OC的長(zhǎng)，由PC=

1

2

OE即可得出OE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
△OPB的面積為

5

2

，
∴

1

2

×5PD=

5

2

，解得PD=1，
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b=4 5a+b=0

，解得

a=-2 b=10

，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+10，
當(dāng)y=1時(shí)，-2x+10=1，解得x=

9

2

，
∴P（

9

2

，1），
∵點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）上，
∴1=

k

9 2

，解得k=

9

2

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

9

2x

；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
∵△OPC的面積為

3

2

，
∴

1

2

OC×1=

3

2

，解得OC=3，
∴BC=5-3=2，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴

PC

OA

=

BC

OB

，即

PC

5

=

2

5

，解得PC=2，
∵PC=

1

2

OE，
∴OE=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．