Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線為拋物線（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”，已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖，點(diǎn)M為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）(0，）；（3）（0，1），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得、的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，過作軸于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，則，，，利用勾股定理，可以得出AC的長(zhǎng)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，y），根據(jù)翻轉(zhuǎn)，可得，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理，可求得點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分3種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別結(jié)合題目的已知條件進(jìn)行討論，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）拋物線，

其夢(mèng)想直線的解析式為，

聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，解得或，

，，，

故答案為：；；；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為夢(mèng)想三角形，

如圖，過作軸于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，

則，，，

∴，

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，y）（），則，

∵將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，

則有，即：，

解之得：，

∴N的坐標(biāo)為：(0，）；

（3）在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，存在點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形，

∵拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，

∴C的坐標(biāo)為：(-3，0）；

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：(x，-x+1）

①如圖示，

當(dāng)時(shí)，即有

解之得：，，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），（-2，3）（此點(diǎn)為A點(diǎn)，不合題意，舍去）

②如圖示，

當(dāng)時(shí)，即有

解之得：，，

∴，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），（，）；

③如圖示，

當(dāng)時(shí)，作AC的垂直平分線KP，KP交AC于點(diǎn)K，

∴K的坐標(biāo)為：（-2.5，1.5），

∵A的坐標(biāo)為：（-2，3），C的坐標(biāo)為：（-3，0），

∴，

∴，

∴，將（-2.5，1.5）代入，則

∴KP的解析式為：

聯(lián)立夢(mèng)想直線與直線KP的解析式可得，解得

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），（，），（，），（，）；