【題目】已知在RtABC中,∠ABC=90°AB=BC,將△ABC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°),直線BDCE交于點F

1)如圖1,當α=45°時,求證:CF=EF;

2)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當α為任意銳角時,

CFB的度數(shù)是否變化?若不變,請求出它的度數(shù);

結(jié)論“CF=EF”,是否仍然成立?請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)①不變,45°;②仍然成立,理由見解析

【解析】

1)首先證明∠ACE=CDF,推出CF=DF ,再證明∠CED=EDF,推出CF=EF即可解決問題;

2))①由△ABD與△ACE均為頂角為α的等腰三角形,所以∠ABD=ACE.由∠ABD+AOB+CAB=ACE+COF+CFB=180°可得∠CFB=CAB=45°

②作EGCBBF延長線于點G.可推出∠EDG=CBF.由 EGCB,可得∠G=CBF=EDG,可證明△FEG≌△FCB,即可的答案.

解:(1)當α=45°時,

由旋轉(zhuǎn)可知:AB=AD,AC=AE,CAB=CAE=45°,ADE=ABC=90°

AB=AD

∴∠ABD=ADB=67.5°,

∴∠CDF=ADB=67.5°,

AC=AE

AEC=ACE=67.5°

∴∠ACE=CDF=67.5°,

CF=DF

RtCDE中,∠CED=EDF=90°-67.5°=22.5°

EF=DF

CF=EF

2)①∠CFB的度數(shù)不變,∠CFB=45°

∵△ABD與△ACE均為頂角為α的等腰三角形,

所以底角相等,

即∠ABD=ACE

設(shè)ACBF的交點為O,則∠AOB=COF

∵∠ABD+AOB+CAB=ACE+COF+CFB=180°,

∴∠CFB=CAB=45°

結(jié)論“CF=EF”,仍然成立.證明如下:

如圖,作EGCBBF延長線于點G

∵∠ABD=ADB,

又∵∠EDG+ADB=CBF+ABD=90°,

∴∠EDG=CBF

EGCB,

∴∠G=CBF=EDG,

EG=ED.又ED=BC

EG=BC

∴△FEG≌△FCB

EF=CF

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