Question

如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為、，直徑CD⊥x軸于N，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，

(1)  求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)若直線CE切⊙M于點(diǎn)C，G在直線CE上，已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3. 求G的縱坐標(biāo)

(3) 對(duì)于(2)中的G，是否存在過(guò)點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4) 對(duì)于(2)中的G 直線FG切⊙M于點(diǎn)F，求直線DF的解析式.

 

Answer 1

 解 (1) ∵拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，

          代入得     m=3. -------------2分

      ∴拋物線為.

      又拋物線過(guò)點(diǎn)D，由圓的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

      ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為. -------------4分

     (2) 設(shè) NC= a,則 DC=4+ a，半徑=2+ a/2，MN=2-a/2

∵CD⊥x軸，∴NA=NB=2. ∴ON=1.

       在直角三角形AMN中,（2+ a/2）²=4+（2-a/2）² -------------6分

   ∴a=1.∴NC=1. G的縱坐標(biāo)為-1 -------------7分

 (3) 假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)G的直線為，

則，∴.  -------------8分

由方程組 得  -------------9分

∵交點(diǎn)只有一個(gè)，∴（2+k₁）²﹣4(﹣4﹣3 k₁)=0

k₁²+16 k₁+20=0

∵16²﹣80>0

∴k₁存在，∴這樣的直線存在-------------10分

 (4)設(shè)直線DF交CE于P，連結(jié)CF，則∠CFP=90°.

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.

∵GC、GF是切線，

∴GC=GF. ∴∠3=∠4.

∴∠1=∠2.

∴GF=GP.

∴GC=GP.

可得CP=8. -------------12分

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為  -------------13分

設(shè)直線DF的解析式為

則  解得

∴直線DF的解析式為：