【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,點P是AD邊上的一個動點,點A關(guān)于直線BP的對稱點是點Q,連接PQ、DQ、CQ、BQ,設(shè)AP=x.

(1)BQ+DQ的最小值是_______,此時x的值是_______;

(2)如圖,若PQ的延長線交CD邊于點E,并且CQD=90°

求證:點E是CD的中點; 求x的值.

(3)若點P是射線AD上的一個動點,請直接寫出當(dāng)CDQ為等腰三角形時x的值.

【答案】(1),;(2) 理由詳見解析;;(3) 2﹣或2+

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)兩點之間,線段最短可知,點Q在線段BD上時BQ+DQ的值最小,是BD的長度,利用勾股定理即可求出;再根據(jù)PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) 由對稱可知AB=BQ=BC,因此BCQ=BQC.根據(jù)BQE=BCE=90°,可知EQC=ECQ,從而EQ=EC.再根據(jù)CQD=90°可得DQE+CQE=90°, QCE+QDE=90°,而EQC=ECQ, 所以QDE=DQE,從而EQ=ED.易得點E是CD的中點;在RtPDE中,PE= PQ+QE=x+,PD=1﹣x,PQ=x,根據(jù)勾股定理即可求出x的值.

(3) CDQ為等腰三角形分兩種情況:CD為腰,以點C 為圓心,以CD的長為半徑畫弧,兩弧交點即為使得CDQ為等腰三角形的Q點; CD為底邊時,作CD的垂直平分線,與的交點即為CDQ為等腰三角形的Q點,則共有 3個Q點,那么也共有3個P點,作輔助線,利用直角三角形的性質(zhì)求之即得.

試題解析:(1)

(2)證明:在正方形ABCD中,

AB=BC,A=BCD=90°.

Q點為A點關(guān)于BP的對稱點,

AB=QB,A=PQB=90°,

QB=BC,BQE=BCE,

∴∠BQC=BCQ,

∴∠EQC=EQB﹣CQB=ECB﹣QCB=ECQ,

EQ=EC.

在RtQDC中,

∵∠QDE=90°﹣QCE,

DQE=90°﹣EQC,

∴∠QDE=DQE,

EQ=ED,

CE=EQ=ED,即E為CD的中點.

②∵AP=x,AD=1,

PD=1﹣x,PQ=x,CD=1.

在RtDQC中,

E為CD的中點,

DE=QE=CE=,

PE=PQ+QE=x+,

解得 x=

(3)CDQ為等腰三角形時x的值為2-,,2+

如圖,以點B為圓心,以AB的長為半徑畫弧,以點C為圓心,以CD的長為半徑畫弧,兩弧分別交于Q1,Q3.此時CDQ1,CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形.作CD的垂直平分線交弧AC于點Q2,此時

CDQ2以CD為底的等腰三形.

以下對此Q1,Q2,Q3.分別討論各自的P點,并求AP的值.

討論Q:如圖作輔助線,連接BQ1、CQ1,作PQ1BQ1交AD于P,過點Q1,作EFAD于E,交BC于F.

∵△BCQ1為等邊三角形,正方形ABCD邊長為1,

,

在四邊形ABPQ1中,

∵∠ABQ1=30°,

∴∠APQ1=150°,

∴△PEQ1為含30°的直角三角形,

PE=

AE=

x=AP=AE-PE=2-

討論Q2,如圖作輔助線,連接BQ2,AQ2,過點Q2作PGBQ2,交AD于P,連接BP,過點Q2作EFCD于E,交AB于F.

EF垂直平分CD,

EF垂直平分AB,

AQ2=BQ2

AB=BQ2,

∴△ABQ2為等邊三角形.

在四邊形ABQP中,

∵∠BAD=BQP=90°, ABQ=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=DPG=180°-120°=60°,

EG=,

DG=DE+GE=-1,

PD=1-,

x=AP=1-PD=

對Q3,如圖作輔助線,連接BQ1,CQ1,BQ3,CQ3,過點Q3作BQ3PQ3,交AD的延長線于P,連接BP,過點Q1,作EFAD于E,此時Q3在EF上,不妨記Q3與F重合.

∵△BCQ1為等邊三角形,BCQ3為等邊三角形,BC=1,

,

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=ABC+CBQ3=150°,

∴∠EPF=30°

EP=,EF=

AE=

x=AP=AE+PE=+2.

綜上所述,CDQ為等腰三角形時x的值為2﹣,2+

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