Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點，連接AE，以AD為直徑的⊙O交AE于點F，連接CF．

（1）求證：CF與⊙O相切；

（2）若AD=2，F(xiàn)為AE的中點，求AB的長．

Answer 1

    （1）證明：如圖所示：連接OF、OC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，

∵E為BC邊中點，AO=DO，

∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四邊形OAEC是平行四邊形，

∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠DOC=∠FOC，

∵在△ODC和△OFC中

，

∴△ODC≌△OFC（SAS），

∴∠OFC=∠ODC=90°，

∴OF⊥CF，

∴CF與⊙O相切；

（2）解：如圖所示：連接DE，

∵AO=DO，AF=EF，AD=2，

∴DE=20F=2，

∵E是BC的中點，

∴EC=1，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：

DC===，

∴AB=CD=．