Question

在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，AC上的點(diǎn)X使得MX⊥AC，AC=10，XC=3，則BC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：連結(jié)AM、BM，MC，作MN⊥BC的延長線于點(diǎn)N，就可以得出△BNM≌△AXM，就有BN=AX．由△CMN≌△CMX就可以得出CN=CX，進(jìn)而就可以求出BC的值．

解答：解：連結(jié)AM、BM，MC，作MN⊥BC的延長線于點(diǎn)N，
∴∠BNM=90°．
∵M(jìn)X⊥AC，
∴∠AXM=∠MXC=90°，
∴∠MXC=∠BNM=∠AXM．
∵M(jìn)是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，
∴BM=AM．
∴∠ABM=∠BAM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠MCN=∠BAM，
∴∠MCN=∠ACM．
在△BNM和△AXM中，

∠CBM=∠CAM BM=AM ∠BNM=∠AXM

，
∴△BNM≌△AXM（ASA），
∴BN=AX．
∵AC=10，XC=3，
∴AX=7，
∴BN=7．
在△CMN和△CMX中

∠BNM=∠MXC ∠MCN=∠ACM CM=CM

，
∴△CMN≌△CMX（AAS），
∴CN=CX，
∴CN=3．
∵BC=BN-CN，
∴BC=7-3=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，圓周角定理的運(yùn)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．