Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

（1）求證：；

（2）由（1）中的結(jié)論可知，等腰三角形ABC中，當頂角∠A的大小確定時，它的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定，我們把這個比值記作T（A），即T（A）==，如T（60°）=1．

①理解鞏固：T（90°）= ，T（120°）= ，若α是等腰三角形的頂角，則T（α）的取值范圍是 ；

②學以致用：如圖2，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ=8，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長（精確到0.1）．

（參考數(shù)據(jù)：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；；0＜T（α）＜2；②11.6．

【解析】

試題分析：（1）證明△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進行計算即可；

②根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算，得到扇形的圓心角，根據(jù)T（A）的定義解答即可．

試題解析：（1）∵AB=AC，DE=DF，∴，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，∴；

（2）①如圖1，∠A=90°，AB=AC，則=，∴T（90°）=，如圖2，∠A=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，則∠B=60°，∴BD=AB，∴BC=AB，∴T（120°）=；

∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，∴0＜T（α）＜2，故答案為：；；0＜T（α）＜2；

②∵圓錐的底面直徑PQ=8，∴圓錐的底面周長為8π，即側(cè)面展開圖扇形的弧長為8π，設扇形的圓心角為n°，則=8π，解得，n=160，∵T（80°）≈1.29，∴螞蟻爬行的最短路徑長為1.29×9≈11.6．