Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別從點(diǎn)B、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，在線段BC上作等速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)、B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求證：△ABE≌△ACD；

（2）若AB＝BE，求∠DAE的度數(shù)；

拓展：若△ABD的外心在其內(nèi)部時(shí)，求∠BDA的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；拓展：

【解析】

（1）由題意得BD=CE，得出BE=CD，證出AB=AC，由SAS證明△ABE≌△ACD即可；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，證出AC=CD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度數(shù)；

拓展：對(duì)△ABD的外心位置進(jìn)行推理，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別從點(diǎn)B、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，在線段BC上作等速運(yùn)動(dòng)，

∴BD=CE，

∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD，

∵∠B=∠C=40°，

∴AB=AC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，

∴∠BEA=∠EAB=(180°-40°)=70°，

∵BE=CD，AB=AC，

∴AC=CD，

∴∠ADC=∠DAC=(180°-40°)=70°，

∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°；

拓展：

解：若△ABD的外心在其內(nèi)部時(shí)，則△ABD是銳角三角形．

∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．

∴∠BDA＞50°，

又∵∠BDA＜90°，

∴50°＜∠BDA＜90°．