【題目】已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M(1,0),且a<b.

(1)求拋物線頂點Q的坐標(用含a的代數(shù)式表示);

(2)說明直線與拋物線有兩個交點;

(3)直線與拋物線的另一個交點記為N.

①若-1≤a≤一,求線段MN長度的取值范圍;

②求△QMN面積的最小值.

【答案】(1)(-,-)(2)證明見解析(3)

【解析】分析: (1)把M點坐標代入拋物線解析式可得到ba的關系,可用a表示出拋物線解析式,化為頂點式可求得其頂點坐標;
(2)由直線解析式可先求得m的值,聯(lián)立直線與拋物線解析式,消去y,可得到關于x的一元二次方程,再判斷其判別式大于0即可;
(3)①由(2)的方程,可求得N點坐標,利用勾股定理可求得MN2,利用二次函數(shù)性質可求得MN長度的取值范圍;②設拋物線對稱軸交直線與點E,則可求得E點坐標,利用SQMN=SQEN+SQEM可用a表示出△QMN的面積,再整理成關于a的一元二次方程,利用判別式可得其面積的取值范圍,可求得答案

詳解:

(1)∵M(1,0),

∴b=-2a,

∴y=ax2+ax+b

=ax2+ax-2a

= a(x+)2

頂點Q的坐標為(-,-).

(2)由直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),可得m=-2.

∴y=2x-2

∴ax2+(a-2)x-2a+2=0

∴△=(a-2)2-4×a×(-2a+2)=(3a-2)2

∵2a +b=0,a<b

∴a<0

∴△>0

方程有兩個不相等的實數(shù)根,

直線與拋物線有兩個交點.

(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,

即x2+(1- )x-2+=0,

∴(x-1)(x+2-)=0,

解得x1=1,x2 =-2,

點N(-2,-6).

(i)根據(jù)勾股定理得,

MN2=[(-2)-1]2+(-6)2=20(2,

∵-1≤a≤-,

∴-2≤ ≤-1,

<0,

∴MN=2 )=3 ,

∴5≤MN≤7.

(ii)作直線x=- 交直線y=2x-2于點E,

把x=-代入y=2x-2得,y=-3,

即E(-,-3),

∵M(1,0),N(-2,-6),且由(2)知a<0,

∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= =

即27a2+(8S-54)a+24=0,

關于a的方程有實數(shù)根,

∴△=(8S-54)2-4×27×24≥0,

即(8S-54)2≥(362,

∵a<0,

∴S=> ,

∴8S-54>0,

∴8S-54≥36,即S≥ ,

當S=時,由方程可得a=- 滿足題意.

∴△QMN面積的最小值為.

點睛: 本題為二次函數(shù)的綜合應用,涉及函數(shù)圖象的交點、二次函數(shù)的性質、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識.在(1)中由M的坐標得到ba的關系是解題的關鍵,在(2)中聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得到關于x的一元二次方程是解題的關鍵,在(3)中求得N點的坐標是解題的關鍵,在最后一小題中用a表示出△QMN的面積是解題的關鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度較大.

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