Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；

（2）P（2，-）；

(3)存在，符合條件的點N的坐標為（4，-），（2+，）或（2-，）.

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點代入求出a、b、c的值即可；

（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；

（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點在拋物線上，

∴，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：；

（2）∵拋物線的解析式為：，

∴其對稱軸為直線，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，-），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為，

當x=2時，y=1-=-，

∴P（2，-）；

（3）存在．

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，；

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，-），∴N1（4，-）

②當點N在x軸上方時，

如圖，過點N2作N2D⊥x軸于點D，

在△AN2D與△M2CO中，

，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2點的縱坐標為．

∴，

解得x=2+或x=2-，

∴N2（2+，），N3（2-，）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，-），（2+，）或（2-，）．

考點：二次函數(shù)綜合題．