Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；

（2）P（2，-）；

(3)存在，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-），（2+，）或（2-，）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（-1，0），B（5，0），C（0，?）三點(diǎn)在拋物線上，

∴，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：；

（2）∵拋物線的解析式為：，

∴其對(duì)稱軸為直線，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，-），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為，

當(dāng)x=2時(shí)，y=1-=-，

∴P（2，-）；

（3）存在．

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，-），∴N1（4，-）

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，

如圖，過點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，

在△AN2D與△M2CO中，

，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

∴，

解得x=2+或x=2-，

∴N2（2+，），N3（2-，）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-），（2+，）或（2-，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．