Question

（本題滿分14分）如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上．

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

 

Answer 1

（1）函數(shù)關(guān)系式為；（2）都在拋物線上，理由詳見解析；（3）P（）

【解析】

試題分析：（1）∵拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）

∴c=4，

∵頂點(diǎn)在直線x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；

∴所求函數(shù)關(guān)系式為；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4， ∴AB=5，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），

當(dāng)x=5時，，當(dāng)x=2時，，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

則，解得：， ∴，

當(dāng)x=時，y=， ∴P（）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合應(yīng)用