Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠C=90°，tan∠ABC=2，點D（-8，6），將△AOB沿直線AB翻折，點O落在點E處，直線AE交x軸于點F．

（1）求點F的坐標(biāo)；
（2）矩形AOCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，當(dāng)點C′與點F重合時停止運動，運動后的矩形A′O′C′D′與△AOF重合部分的面積為S，設(shè)運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在矩形A′O′C′D′運動過程中，直線A′O′與射線AB交于G，是否存在時間t，使點A關(guān)于直線FG的對稱點恰好落在x軸上？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得AO的長，根據(jù)正切三角函數(shù)，可得OB的長，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得△AOB≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BE=OB=3，∠AEB=∠AOF=90°，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得BF與AF的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）分類討論，當(dāng)0≤t≤8時，重合部分是梯形，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得梯形的上底、高，根據(jù)梯形的面積公式可得答案；當(dāng)8＜t≤16時，重合部分是三角形，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得三角形的高，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論，對稱點在x軸的負(fù)半軸時，根據(jù)G點三角形角平分線的交點，可得G點是內(nèi)心，根據(jù)三角形面積的不同表示方法，可得答案；對稱點在x軸的正半軸時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得FA″=AF=10，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得NF、FT、NT的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）∠C=∠D=∠AOC=90°，
∴AOCD是矩形．
∵D（-8，6），
∴OA=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴OB=3，
△AOB沿直線AB翻折，點O落在點E處，
∴△AOB≌△AEB，
∴BE=OB=3，∠AEB=∠AOF=90°，
∵∠EFB=∠OFA，
∴△EFB∽△OFA，
∴

BF

AF

=

BE

AO

=

1

2

；
設(shè)BF=a，則AF=2a，（2a）²=6²+（3+a）²，a=5，
∴F（8，0）；

（2）當(dāng)0≤t≤8，如圖1．

設(shè)A′O′交AF于點M．
∵A′O′∥AO，
∴△FMO′∽△FAO，
∴

O′M

6

=

8-t

8

，O′M=

3

4

（8-t），
∴S=

1

2

（6+O′M） t=-

3

8

t²+6t，
當(dāng)8＜t≤16時，設(shè)D′C′交于AF于點N，C′F=8-OC′=8-（t-8）=16-t，
C′N=

3

4

（16-t），
S=

1

2

C′F•C′N=

3

8

t²-12t+96；

（3）對稱點A₁′落在x軸負(fù)半軸上時，如圖2，連接FG、OG，作GT⊥AO于T，GS⊥AF于S，

∵點A關(guān)于FG的對稱點在x軸上
∴∠AFG=∠OFG
∵∠OAG=∠FAG
∴GS=GO′=GT=r，S_△AOF=

1

2

OF•r+

1

2

OA•r+

1

2

AF•r=

1

2

×8×6，r=2=t；
對稱點A″落在x軸正半軸上時，如圖3，

FA″=AF=10，OA″=18，AA″=6

10

∵△A″NF∽△A″OA
∴

NF

6

=

10

6 10

，NF=

10

，
FT=1，NT=3，N （9，3）
直線FG′的解析式為y=3x-24，而直線AB的解析式為y=-2x+6，聯(lián)立求得G′（6，-6）
此時t=6，
綜上所述，當(dāng)t=2或6時，點A關(guān)于直線FG的對稱點落在x軸上．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論的思想是解題關(guān)鍵．