Question

【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(6 ,0),點(diǎn)B(0,18),∠BAO=60°，射線AC平分∠BAO交y軸正半軸于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)N從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度沿線段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)N作x軸的垂線,分別交線段AB于點(diǎn)M,交線段AO于點(diǎn)P,設(shè)線段MP的長度為d,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,請求出d與t的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，將△ABO沿y軸翻折，點(diǎn)A落在x軸正半軸上的點(diǎn)E，線段BE交射線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AMN與△OQD全等時(shí)，求出t值并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)(0,6)；(2 )d=3t(0<t6)；S=4t-32(t>8)；(3) t=3,此時(shí)Q(0,6)；t=3,此時(shí)Q(0,18)

【解析】

（1）首先證明∠BAO=60°，在Rt△ACO中，求出OC的長即可解決問題；

（2）理由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解決問題；

（3）由（1）可知，∠NAM=∠NMA=30°，推出△AMN是等腰三角形，由當(dāng)△AMN與△OQD全等，∠DOC=30°，①當(dāng)∠QDO=30°時(shí)，△AMN與△OQD全等，

此時(shí)點(diǎn)Q與C重合，當(dāng)AN=OC時(shí)，△ANM≌△OQC，②當(dāng)∠OQD=30°，△AMN與△OQD全等，此時(shí)點(diǎn)Q與B重合，OD=AN=6，分別求出t的值即可；

(1)在Rt△AOB中,∵OA=6，OB=18，

∴tan∠BAO= =,

∴∠BAO=60°，

∵AC平分∠BAO，

∴∠CAO= ∠BAO=30°，

∴OC=OAtan30°=6 =6，

∴C(0,6).

(2)如圖1中，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

則有 ，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y=x+18，

∵AN=2t，

∴AM=t，

∴OM=6t，

∴M(t6,0)，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y= (t6)+18=3t，

∴P(t6,3t)，

∴d=3t(0<t6).

(3)如圖2中，

由(1)可知,∠NAM=∠NMA=30°，

∴△AMN是等腰三角形，

∵當(dāng)△AMN與△OQD全等,∠DOC=30°，

∴①當(dāng)∠QDO=30°時(shí)，△AMN與△OQD全等，

此時(shí)點(diǎn)Q 與C重合,當(dāng)AN=OC時(shí),△ANM≌△OQC，

∴2t=6，

t=3,此時(shí)Q(0,6).

②當(dāng)∠OQ D=30°，△AMN與△OQD全等,此時(shí)點(diǎn)Q與B重合,OD=AN=6，

∴2t=6，

∴t=3,此時(shí)Q(0,18).