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【題目】已知:∠MON=36°,OE平分∠MON,點AB分別是射線OMOE,上的動點(AB不與點O重合),點D是線段OB上的動點,連接AD并延長交射線ON于點C,設∠OAC=x,

1)如圖1,若ABON,則

①∠ABO的度數是______;

②當∠BAD=ABD時,x=______;

當∠BAD=BDA時,x=______;

2)如圖2,若ABOM,則是否存在這樣的x的值,使得ABD中有兩個相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1)①18°;②126°;③63°;(2)當x=18、36、54時,ADB中有兩個相等的角.

【解析】

1)運用平行線的性質以及角平分線的定義,可得∠ABO的度數;根據∠ABO、∠BAD的度數以及△AOB的內角和,可得x的值;

2)根據三角形內角和定理以及直角的度數,可得x的值.

解:(1)如圖1,①∵∠MON=36°OE平分∠MON,

∴∠AOB=∠BON=18°,

∵AB∥ON

∴∠ABO=18°;

∠BAD=∠ABD時,∠BAD=18°,

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,

∴∠OAC=180°-18°×3=126°;

∠BAD=∠BDA時,∵∠ABO=18°

∴∠BAD=81°,∠AOB=18°,

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,

∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°

故答案為①18°②126°;③63°

2)如圖2,存在這樣的x的值,使得△ADB中有兩個相等的角.

∵AB⊥OM,∠MON=36°,OE平分∠MON

∴∠AOB=18°,∠ABO=72°,

∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°-72°=18°

∠BAD=∠BDA=180°-72°÷2=54°,則∠OAC=90°-54°=36°

∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°-36°=54°;

綜上所述,當x=18、36、54時,△ADB中有兩個相等的角.

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