【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)M,N分別為AD,AC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),AN=DM,連結(jié)點(diǎn)M與矩形的一個(gè)頂點(diǎn),以該線段為直徑作⊙O,當(dāng)點(diǎn)N和矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上時(shí),線段DM的長為_____.
【答案】或.
【解析】
分兩種情形:如圖1中,當(dāng)點(diǎn)N在CM為直徑的圓上時(shí),如圖2中,當(dāng)點(diǎn)N在BM為直徑的圓上時(shí),分別利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程解決問題即可.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,
∴AC==10,
如圖1中,當(dāng)點(diǎn)N在CM為直徑的圓上時(shí),設(shè)DM=AN=x.
∵CM為直徑,
∴∠CNM=90°,
∵∠MAN=∠CAD, ∠ANM=∠ADC=90°,
∴△ANM∽△ADC,
∴,
∴,
解得x=,
∴DM=;
如圖2中,當(dāng)點(diǎn)N在BM為直徑的圓上時(shí),設(shè)BC與圓的交點(diǎn)為H,連接MH,NH.設(shè)DM=AN=y.
∵BM是直徑,
∴∠MHB=90°,
∴∠MHC=∠D=∠DCH=90°,
∴四邊形CDMH是矩形,
∴CH=DM=y,
∵∠NCH=∠BCA,∠CHN=∠CAB,
∴△CNH∽△CBA,
∴,
∴,
解得y=,
∴DM=,
故答案為:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小翔在如圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30秒.他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過程.設(shè)小翔跑步的時(shí)間為t(單位:秒),他與教練的距離為y(單位:米),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的( )
A. 點(diǎn)M B. 點(diǎn)N C. 點(diǎn)P D. 點(diǎn)Q
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市水費(fèi)采用階梯收費(fèi)制度,即:每月用水不超過15噸時(shí),每噸需繳納水費(fèi)a元,每月用水量超過15噸時(shí),超過15噸的部分按每噸提高b元繳納下表是嘉琪家一至四月份用水量和繳納水費(fèi)情況.根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù),回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
月用水量(噸) | 14 | 18 | 16 | 13 |
水費(fèi)(元) | 42 | 60 | 50 | 39 |
(1)a= 元;b= 元;
(2)求月繳納水費(fèi)p(元)與月用水量t(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若嘉琪家五月和六月的月繳水費(fèi)相差24元,求這兩月用水量差的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是二次函數(shù)圖象的一部分,在下列結(jié)論中:①;②;③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④;其中正確的結(jié)論有( 。
A.1個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O,點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn),且CD=CB,連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E,連接OC.
(1) 判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2) 若BE=,DE=3,求⊙O的半徑及AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D是⊙O上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,且∠ADE=60°,C是上一點(diǎn),連結(jié)AC,CD.
(1)求∠ACD的度數(shù);
(2)證明:AD2=ABAE;
(3)如果AB=8,∠ADC=45°,請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案.(根據(jù)編出的問題層次,給不同的得分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,CD≠AB,點(diǎn)F在BC上,連DF與AB的延長線交于點(diǎn)G.
(1)求證:CFFG=DFBF;
(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí),過F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E,若AB=12,EF=8,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
問題情境:
(1)如圖1,兩塊等腰直角三角板△ABC和△ECD如圖所示擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)F,H,G分別是線段DE,AE,BD的中點(diǎn),A,C,D和B,C,E分別共線,則FH和FG的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
合作探究:
(2)如圖2,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A,C,E在一條直線上,其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖3,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,那么(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題呈現(xiàn))阿基米德折弦定理:
如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,點(diǎn)M是的中點(diǎn),則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CD=DB+BA.下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中點(diǎn),
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根據(jù)證明過程,分別寫出下列步驟的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解運(yùn)用)如圖1,AB、BC是⊙O的兩條弦,AB=4,BC=6,點(diǎn)M是的中點(diǎn),MD⊥BC于點(diǎn)D,則BD= ;
(變式探究)如圖3,若點(diǎn)M是的中點(diǎn),(問題呈現(xiàn))中的其他條件不變,判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.
(實(shí)踐應(yīng)用)根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問題:
如圖4,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A圓上一定點(diǎn),點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn),且滿足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半徑為5,求AD長.
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