【題目】(問題呈現(xiàn))阿基米德折弦定理:
如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,點M是的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中點,
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根據(jù)證明過程,分別寫出下列步驟的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解運用)如圖1,AB、BC是⊙O的兩條弦,AB=4,BC=6,點M是的中點,MD⊥BC于點D,則BD= ;
(變式探究)如圖3,若點M是的中點,(問題呈現(xiàn))中的其他條件不變,判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.
(實踐應(yīng)用)根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題:
如圖4,BC是⊙O的直徑,點A圓上一定點,點D圓上一動點,且滿足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半徑為5,求AD長.
【答案】(問題呈現(xiàn))相等的弧所對的弦相等;同弧所對的圓周角相等;有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(理解運用)1;(變式探究)DB=CD+BA;證明見解析;(實踐應(yīng)用)7或.
【解析】
(問題呈現(xiàn))根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解;
(理解運用)CD=DB+BA,即CD=6﹣CD+AB,即CD=6﹣CD+4,解得:CD=5,即可求解;
(變式探究)證明△MAB≌△MGB(SAS),則MA=MG,MC=MG,又DM⊥BC,則DC=DG,即可求解;
(實踐應(yīng)用)已知∠D1AC=45°,過點D1作D1G1⊥AC于點G1,則CG1′+AB=AG1,所以AG1=(6+8)=7.如圖∠D2AC=45°,同理易得AD2=.
(問題呈現(xiàn))
①相等的弧所對的弦相等
②同弧所對的圓周角相等
③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等
故答案為:相等的弧所對的弦相等;同弧所定義的圓周角相等;有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等;
(理解運用)CD=DB+BA,即CD=6﹣CD+AB,即CD=6﹣CD+4,解得:CD=5,
BD=BC﹣CD=6﹣5=1,
故答案為:1;
(變式探究)DB=CD+BA.
證明:在DB上截去BG=BA,連接MA、MB、MC、MG,
∵M是弧AC的中點,
∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
又MB=MB
∴△MAB≌△MGB(SAS)
∴MA=MG
∴MC=MG,
又DM⊥BC,
∴DC=DG,
AB+DC=BG+DG,
即DB=CD+BA;
(實踐應(yīng)用)
如圖,BC是圓的直徑,所以∠BAC=90°.
因為AB=6,圓的半徑為5,所以AC=8.
已知∠D1AC=45°,過點D1作D1G1⊥AC于點G1,
則CG1′+AB=AG1,
所以AG1=(6+8)=7.
所以AD1=7.
如圖∠D2AC=45°,同理易得AD2=.
所以AD的長為7或.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點M,N分別為AD,AC上的動點(不含端點),AN=DM,連結(jié)點M與矩形的一個頂點,以該線段為直徑作⊙O,當點N和矩形的另一個頂點也在⊙O上時,線段DM的長為_____.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC⊥AB,BC交⊙O于點D,點E在劣弧BD上,DE的延長線交AB的延長線于點F,連接AE交BD于點G.
(1)求證:∠AED=∠CAD;
(2)若點E是劣弧BD的中點,求證:ED2=EGEA;
(3)在(2)的條件下,若BO=BF,DE=2,求EF的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3.
(1)在所給的平面直角坐標系中畫出它的圖象;
(2)若三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3.y3)且2<x1<x2<x3,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 .
(3)把所畫的圖象如何平移,可以得到函數(shù)y=x2的圖象?請寫出一種平移方案.
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【題目】已知:如圖,點C、D、B、F在一條直線上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AB=CD,CE=AF.
求證:(1)△ABF≌△CDE;
(2)CE⊥AF.
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【題目】定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段,且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方,則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,△ABC中,點D是BC邊上一點,連結(jié)AD,若,則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.
(1)如圖2,△ABC的頂點是網(wǎng)格圖的格點,請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.
(2)△ABC中,BC=9,,,點D是BC邊上的“好點”,求線段BD的長.
(3)如圖3,△ABC是的內(nèi)接三角形,OH⊥AB于點H,連結(jié)CH并延長交于點D.
①求證:點H是△BCD中CD邊上的“好點”.
②若的半徑為9,∠ABD=90°,OH=6,請直接寫出的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,O是AB邊上的點,以O為圓心,OB為半徑的⊙0與AC相切于點D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,求CD的長.
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【題目】某景區(qū)內(nèi)有一塊矩形油菜花田地(數(shù)據(jù)如圖示,單位:m.)現(xiàn)在其中修建一條觀花道(圖中陰影部分)供游人賞花.設(shè)改造后剩余油菜花地所占面積為ym2.
(1)求y與x的函數(shù)表達式;
(2)若改造后觀花道的面積為13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面積的最大值.
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