Question

如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船c的求救信號．已知A、B兩船相距100（

3

+3）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．
（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保留根號）．
（2）已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設(shè)AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=

3

x，由AE+BE=x+

3

x=100（3+

3

）求出x的值，再根據(jù)AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF=y，則DF=CF=

3

y，根據(jù)AC=y+

3

y=200

3

求出y的值，故可得出AD的長，進而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論得出DF的長，再與200相比較即可．

解答：解：（1）作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設(shè)AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=

3

x，
在Rt△BCE中，BE=CE=

3

x，
∴AE+BE=x+

3

x=100（3+

3

），解得x=100

3

，
∴AC=2x=200

3

．
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF=y，則DF=CF=

3

y，
∴AC=y+

3

y=200

3

，解得y=100（3-

3

），
∴AD=2x=200（3-

3

）．
答：A與C之間的距離AC為200

3

海里，A與D之間的距離AD為200（3-

3

）海里；

（2）∵由（1）可知，DF=

3

AF=

3

×100（3-

3

）≈219．
∵219＞200，
∴巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險．

點評：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．